[논문 리뷰] Hiding the Drift

Miklós Rásonyi, Walter Schachermayer외 1명|arXiv (Cornell University)|2008. 02. 08.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 1인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 $ S_t $가 비자명한 예측 가능한 드리프트 $ \mu_t $를 갖는 브라운 운동임에도 불구하고, 그 자체의 필터레이션에서 스트로복스틱 적분 $ (H \cdot S)_t $가 브라운 운동이 되는 예측 가능한 과정 $ H $를 구성한다. 주요 기여는 드리프트를 임의의 고정된 $ \mu > 0 $ 근처에 임의로 가까이 둘 수 있음을 보여주는 것이다. 이는 드리프트를 임의로 작은 간격 안에 '숨기는' 효과를 가진다.

ABSTRACT

In this article we consider a Brownian motion with drift of the form \[dS_t=\mu_t dt+dB_t\qquadfor t\ge0,\] with a specific nontrivial $(\mu_t)_{t\geq0}$, predictable with respect to $\mathbb{F}^B$, the natural filtration of the Brownian motion $B=(B_t)_{t\ge0}$. We construct a process $H=(H_t)_{t\ge0}$, also predictable with respect to $\mathbb{F}^B$, such that $((H\cdot S)_t)_{t\ge 0}$ is a Brownian motion in its own filtration. Furthermore, for any $\delta>0$, we refine this construction such that the drift $(\mu_t)_{t\ge0}$ only takes values in $]\mu-\delta,\mu+\delta[$, for fixed $\mu>0$.

연구 동기 및 목표

• 비자명한 예측 가능한 드리프트를 갖는 브라운 운동이 예측 가능한 스트로복스틱 적분을 통해 표준 브라운 운동으로 변환될 수 있음을 보이기.
• 모든 $ \delta > 0 $에 대해 드리프트 과정 $ \mu_t $가 임의로 작은 간격 $ ]\mu - \delta, \mu + \delta[ $ 내에 유지되도록 보장하여 드리프트의 거의 일정한 성격을 유지하기.
• 기본 브라운 운동의 자연 필터레이션에 대해 드리프트와 통합 과정 $ H $의 예측 가능성 유지하기.
• 기본 확률 공간이나 필터레이션을 변경하지 않고도 이러한 변환이 가능함을 확립하기.

제안 방법

• 브라운 운동 $ B_t $와 자연 필터레이션 $ \mathbb{F}^B $에 적응하는 예측 가능한 드리프트 과정 $ \mu_t $를 정의하기.
• 스트로복스틱 적분 $ (H \cdot S)_t $가 그 자체의 필터레이션에서 브라운 운동이 되는 예측 가능한 과정 $ H_t $를 구성하기.
• 시간 변화 또는 지르산오프 유형의 추론을 사용하여 변환된 과정이 브라운 운동의 마틴게일성과 제곱변동성 성질을 만족하도록 보장하기.
• 적절히 설계된 유계 예측 가능한 과정으로서 $ \mu_t $를 구성하여 모든 $ t \geq 0 $에 대해 $ \mu_t \in ]\mu - \delta, \mu + \delta[ $ 가 되도록 보장하기, 여기서 $ \delta > 0 $은 임의의 값이다.
• 결과 과정 $ (H \cdot S)_t $가 독립적인 증분과 연속 경로를 갖는지 확인하여, 그 자체의 필터레이션에서 브라운 운동의 정의를 만족함을 입증하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비퇴직적인 예측 가능한 드리프트를 갖는 브라운 운동이 예측 가능한 통합자에 의해 표준 브라운 운동으로 변환될 수 있는가?
• RQ2 변환된 과정의 마틴게일 성질을 유지하면서 드리프트를 고정된 양수 $ \mu $ 근처에 얼마나 정밀하게 국한시킬 수 있는가?
• RQ3 기본 브라운 운동의 자연 필터레이션에 대해 드리프트와 통합자 $ H $의 예측 가능성 유지가 가능한가?
• RQ4 변환된 과정 $ (H \cdot S)_t $가 그 자체의 필터레이션에서 표준 브라운 운동의 유한차원 분포를 만족하는가?

주요 결과

• 비자명한 드리프트를 갖는 $ S_t $에도 불구하고, 스트로복스틱 적분 $ (H \cdot S)_t $는 그 자체의 자연 필터레이션에서 표준 브라운 운동이다.
• 주어진 $ \delta > 0 $에 대해 드리프트 과정 $ \mu_t $는 고정된 $ \mu > 0 $에 대해 항상 구간 $ ]\mu - \delta, \mu + \delta[ $ 내에 값만을 취하도록 구성될 수 있다.
• 통합 과정 $ H $는 자연 필터레이션 $ \mathbb{F}^B $에 대해 예측 가능하므로, 원래의 정보 흐름에 적응된 구성임을 보장한다.
• 변환은 원래 과정의 표본 경로 연속성과 독립적인 증분을 유지하므로, 결과 과정은 진정으로 브라운 운동임을 보장한다.