[논문 리뷰] High-order short-time expansions for ATM option prices under the CGMY model

José E. Figueroa‐López, Ruoting Gong외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 12. 14.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 33인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 CGMY Lévy 모형과 그에 추가된 독립적인 브라운 운동 성분을 포함한 확장 모형 하에서 근접행사(At-the-Money, ATM) 옵션 가격에 대한 고차수 단기 점근 전개를 유도한다. 측도 변화를 통해 과정을 안정화하고 尾確率을 포함하는 적분 표현을 사용하여, 저자들은 제2차 및 제3차 근사식을 도출하며, 제2차 항이 점프-확산 모형 하에서 $ d_2 t^{(3-Y)/2} $ 의 형태로 스케일링됨을 보여주며, 여기서 $ d_2 $ 는 점프 강도 $ C $ 와 꼬리 무게 $ Y $ 에만 의존함을 확인한다. 이는 제1차 근사식에 비해 정확도가 크게 향상됨을 시사한다.

ABSTRACT

The short-time asymptotic behavior of option prices for a variety of models with jumps has received much attention in recent years. In the present work, a novel second-order approximation for ATM option prices under the CGMY Lévy model is derived, and then extended to a model with an additional independent Brownian component. Our results shed light on the connection between both the volatility of the continuous component and the jump parameters and the behavior of ATM option prices near expiration. In case of an additional Brownian component, the second-order term, in time-t, is of the form $ d_{2} t^{(3-Y)/2}$, with the coefficient $d_{2}$ depending only on the overall jump intensity parameter C and the tail-heaviness parameter Y. This extends the known result that the leading term is $(σ/\sqrt{2π})t^{1/2}$, where $σ$ is the volatility of the continuous component. In contrast, under a pure-jump CGMY model, the dependence on the two parameters C and Y is already reflected in the leading term, which is of the form $d_{1} t^{1/Y}$. Information on the relative frequency of negative and positive jumps appears only in the second-order term, which is shown to be of the form $d_{2} t$ and whose order of decay turns out to be independent of Y. The third-order asymptotic behavior of the option prices as well as the asymptotic behavior of the corresponding Black-Scholes implied volatilities are also addressed. Our numerical results show that in most cases the second-order term significantly outperform the first-order approximation.

연구 동기 및 목표

• CGMY Lévy 모형 하에서 ATM 옵션 가격에 대한 고차수 단기 점근 전개를 도출하는 것. 이는 점프를 포함하는 블랙-쇼울즈 모형의 일반화이다.
• 추가적인 독립적인 브라운 운동 성분을 포함한 모형으로 분석를 확장하여, 확산 및 무한 활동 점프 동역학을 모두 반영하는 것.
• 만기 근처에서 제1차 방법이 성능이 열 劣하므로, 옵션 가격 근사의 정확도를 향상시키는 것.
• 연속적 변동성과 점프 파라미터(C, Y)가 ATM 옵션 가격의 단기 행동에 미치는 영향을 별개로 명확히 하는 것.
• 고차수 전개로부터 유도된 블랙-쇼울즈 이면 변동성의 점근 행동을 분석하는 것.

제안 방법

• 주 측도 하에서 로그 수익률의 尾확률에 기반한 옵션 가격의 적분 표현을 사용하는 방법.
• 작은 시간 행동 분석을 단순화하기 위해 과정을 안정적인 Lévy 과정으로 변환하기 위해 측도 변화를 적용하는 것.
• 이 측도 변화 하에서 CGMY 과정의 안정성 성질을 활용하여 전개의 고차수 항을 도출하는 것.
• 모멘트 생성 함수와 Lévy 측도의 점근 분석을 사용하여 전개의 계수를 계산하며, 특히 제2차 및 제3차 항에 중점을 둔다.
• 이 방법은 적절한 측도 변화 하에서 안정적인 Lévy 과정이 되는 다른 Lévy 과정으로도 일반화 가능하며, CGMY 모형을 초월하여 적용 가능하다.
• 수치적 검증을 통해 제1차 및 제2차 근사의 성능를 비교하여, 제2차 항이 상당한 정확도 향상을 이끌어내는 것을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 CGMY 모형의 점프 파라미터 C와 Y는 ATM 옵션 가격의 단기 점근 행동에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 브라운 운동 성분이 추가된 경우, ATM 옵션 가격의 단기 전개에서 제2차 항의 정확한 형태는 무엇인가?
• RQ3 양의 점프와 음의 점프의 상대 빈도 의존성은 점근 전개에 어떻게 나타나는가?
• RQ4 제안된 방법은 옵션 가격과 이면 변동성에 대해 제3차 점근 행동을 도출할 수 있는가?
• RQ5 실제 설정에서 제2차 근사의 정확도는 제1차 근사에 비해 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 순수 점프 CGMY 모형에서 주요 항은 $ t^{1/Y} $ 의 순서이며, 계수는 C와 Y에 모두 의존하여 첫 번째 차수 행동에 대한 두 파rameter의 병합 영향을 반영한다.
• 점프-확산 확장 모형에서 제2차 항은 $ d_2 t^{(3-Y)/2} $ 의 형태로 스케일링되며, 여기서 $ d_2 $ 는 점프 강도 C와 꼬리의 두께 Y에만 의존하며, 점프의 비대칭성과는 무관하다.
• 순수 점프 모형에서 제2차 항은 $ t $ 의 순서이며, 양의 점프와 음의 점프의 상대 빈도에 따라 계수에 영향을 받으며, 그 감쇠 속도는 Y와 무관하다.
• ATM 옵션 가격의 제3차 점근 행동이 도출되어, 만기 근처에서 보다 정교한 근사가 가능해졌다.
• 해당 블랙-쇼울즈 이면 변동성의 점근 행동을 분석하여, 고차수 항이 만기 근처에서 이면 변동성 스케일에 상당한 영향을 미친다는 것이 확인되었다.
• 수치 결과는 제1차 근사가 열악한 성능을 보이며, 제2차 항이 단기 만기에서 정확도 향상에 상당한 기여를 한다는 것을 확인한다.