[논문 리뷰] High rate locally correctable codes via lifting

Alan Guo|arXiv (Cornell University)|2013. 04. 03.

Advanced Data Storage Technologies인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 고레트의 국소적으로 수정 가능한 코드를 구축하기 위한 새로운 리프팅 프레임워크를 제안하며, 부분선형 쿼리 복잡도를 갖추어 레이트를 1에 임의로 가까이 만들 수 있고, 일정 비율의 오류를 수정할 수 있다. 유한체 위의 대수기하 코드—특히 허미티안 코드—를 곡선의 자동형사상으로 리프팅하여, 이전의 차수 리프팅 기법이 겪는 레이트 장벽을 극복한다. 이 방법은 $N^\tau$의 쿼리 복잡도와 $1 - \alpha$의 레이트를 갖는다. 여기서 $\tau, \alpha > 0$이며, 알파벳 크기는 $N^{\epsilon/3}$이다.

ABSTRACT

We present a general framework for constructing high rate error correcting codes that are locally correctable (and hence locally decodable if linear) with a sublinear number of queries, based on lifting codes with respect to functions on the coordinates. Our approach generalizes the lifting of affine-invariant codes of Guo, Kopparty, and Sudan and its generalization automorphic lifting, suggested by Ben-Sasson et al, which lifts algebraic geometry codes with respect to a group of automorphisms of the code. Our notion of lifting is a natural alternative to the degree-lifting of Ben-Sasson et al and it carries two advantages. First, it overcomes the rate barrier inherent in degree-lifting. Second, it is extremely flexible, requiring no special properties (e.g. linearity, invariance) of the base code, and requiring very little structure on the set of functions on the coordinates of the code. As an application, we construct new explicit families of locally correctable codes by lifting algebraic geometry codes. Like the multiplicity codes of Kopparty, Saraf, Yekhanin and the affine-lifted codes of Guo, Kopparty, Sudan, our codes of block-length $N$ can achieve $N^ε$ query complexity and $1-α$ rate for any given $ε, α> 0$ while correcting a constant fraction of errors, in contrast to the Reed-Muller codes and the degree-lifted AG codes of Ben-Sasson et al which face a rate barrier of $ε^{O(1/ε)}$. However, like the degree-lifted AG codes, our codes are over an alphabet significantly smaller than that obtained by Reed-Muller codes, affine-lifted codes, and multiplicity codes.

연구 동기 및 목표

• 부분선형 쿼리 복잡도 하에서 레이트가 $\epsilon^{O(1/\epsilon)}$로 제한되는 기존 국소적으로 수정 가능한 코드의 레이트 장벽을 극복하기 위해.
• 강력한 구조적 가정이 필요 없이 비정적 및 비선형 기반 코드에 적용 가능한 일반적인 리프팅 프레임워크를 개발하기 위해.
• 모든 $\epsilon, \alpha > 0$에 대해 블록 길이 $N$, 쿼리 복잡도 $N^\epsilon$, 레이트 $1 - \alpha$를 갖는 명시적 고레트 국소적으로 수정 가능한 코드를 구축하기 위해.
• 리프팅된 대수기하 코드를 통해 작은 알파벳 크기로 근접한 1의 레이트를 달성할 수 있는 가능성을 입증하기 위해.
• 곡선의 자동형사상으로 리프팅하는 것이 높은 레이트와 양호한 거리, 그리고 국소 수정 가능성 모두를 유지할 수 있음을 확립하기 위해.

제안 방법

• 기본 코드의 좌표에 대한 군 작용을 이용하여, 애핀 리프팅과 자동형 리프팅을 일반화하는 새로운 리프팅 연산을 제안한다.
• 허미티안 곡선의 자동형군을 사용하여 리프팅 구조를 정의함으로써, 대수기하 코드—특히 허미티안 코드—에 리프팅을 적용한다.
• 리프팅된 군 작용에 대한 특정 불변 조건을 만족하는 $H^m$의 함수 집합으로서 리프팅된 코드를 정의한다.
• 리프팅된 코드의 기저를 형성하는 '좋은' 단항식의 개념을 도입하여, 명시적 구축과 효율적인 인코딩을 가능하게 한다.
• 자동형군의 이중 전이성(dually transitive) 성질을 이용하여, 리프팅된 코드가 기반 코드의 양호한 거리 성질을 그대로 이어받도록 보장한다.
• 확률론적 및 조합론적 추론을 통해 레이트와 쿼리 복잡도를 근사하여, 매개변수의 증가에 따라 레이트가 1에 수렴함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소적으로 수정 가능한 코드에서 차수 리프팅의 레이트 제약을 극복할 수 있는 리프팅 프레임워크를 설계할 수 있는가?
• RQ2 특정 대수적 구조가 필요 없이, 비정적 및 비선형 기반 코드에 적용 가능한 이러한 리프팅 프레임워크를 설계할 수 있는가?
• RQ3 대수기하 코드를 사용하여 리프팅을 통해 부분선형 쿼리 복잡도를 갖는 고레트 국소적으로 수정 가능한 코드를 구축할 수 있는가?
• RQ4 허미티안 곡선 기반 리프팅 코드에서 레이트, 쿼리 복잡도, 알파벳 크기 간의 상호 교환 관계는 무엇인가?
• RQ5 곡선의 자동형군으로 리프팅하는 것이 실용적인 오류 수정을 위해 충분한 거리와 국소 수정 가능성을 유지하는가?

주요 결과

• 제안된 리프팅 프레임워크는 차수 리프팅에서 기인하는 레이트 장벽을 극복하여, 임의의 $\alpha > 0$에 대해 레이트 $1 - \alpha$를 갖는 코드를 가능하게 한다.
• 모든 $\epsilon, \alpha > 0$에 대해, 블록 길이 $N$, 쿼리 복잡도 $N^\epsilon$, 레이트 최소 $1 - \alpha$를 갖는 코드를 생성할 수 있다.
• 결과로 얻어진 코드의 알파벳 크기는 $N^{\epsilon/3}$이며, 리드-멀러 또는 다중도 코드보다 크게 작다.
• 리프팅된 허미티안 코드는 거리 $\Omega(N)$를 가지며, 일정 비율의 오류를 수정할 수 있고, 리프팅 과정 동안 거리가 유지된다.
• 코드는 명시적으로 구축 가능하다: 자동형군에서 유도된 '좋은' 단항식의 기저를 통해 다항 시간 내에 인코딩이 가능하다.
• 리프팅된 코드의 레이트는 아래로 $1 - e^{-c/(b \cdot 2^{mb})}$로 유계되며, $c \geq b \cdot 2^{mb} \ln(1/\alpha)$일 경우 $1 - \alpha$를 초과한다.