[논문 리뷰] High Reynolds number and high Weissenberg number Oldroyd-B model with dissipation

Peter Constantin, Jiahong Wu외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 11.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 28인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 속도 방정식에 고전적 점성 소산이 없더라도, 스트레스 방정식에 분수계수에 의존하는 소산 $(-\Delta)^\beta$를 갖는 고레이놀즈수 및 고웨issen베르그수 Oldroyd-B 모델에 대해 소규모 초기자료에 대한 전역 적으로 잘 정의된 해의 존재성을 확립한다. $\beta \geq \frac{1}{2}$일 때, 전역 해의 존재성과 균일 유계성을 증명한다.

ABSTRACT

We give a small data global well-posedness result for an incompressible Oldroyd-B model with wave number dissipation in the equation of stress tensor. The result is uniform in solvent Reynolds numbers, and requires only fractional wave-number dependent dissipation $(-Δ)^β$, $β\ge \frac{1}{2}$ in the added stress.

연구 동기 및 목표

• 고레이놀즈수(관성 우세) 및 고웨issen베르그수(강한 탄성 효과) 조건 하에서 Oldroyd-B 모델의 부드러운 해의 전역 존재성을 다루기.
• 비소산 Oldroyd-B 시스템에서 유한 시간 내에 특이점이 형성되는 문제를 해결하기 위해 고전적 점성 대신 波수에 의존하는 소산을 도입하기.
• 소규모 초기자료 조건 하에서, 솔벤트 레이놀즈수가 임의로 클 수 있음에도 불구하고 전역 적으로 잘 정의된 해를 확립하기.
• 전역 존재를 보장하기 위해 필요한 최소한의 소산 강도를 조사하기, 특히 분수라플라스 소산 $(-\Delta)^\beta$에 초점 맞추기.
• 레이놀즈수에 대해 균일한 결과를 제공하여 극한 유체 매개변수 하에서도 해 프레임워크의 강건성을 보여주기.

제안 방법

• 분수라플라스 소산 항 $\eta (-\Delta)^\beta \tau$를 포함한 수정된 Oldroyd-B 시스템을 제안하며, 스트레스 $\tau = \sigma - \mathbb{I}$에 대해 $\beta \geq \frac{1}{2}$를 만족한다.
• 정규성과 비선형 항의 제어를 보장하기 위해 $s > 1 + d/2$인 소볼레프 공간 $H^s$에서 소규모 초기자료 프레임워크를 사용한다.
• 비선형 상호작용을 제어하기 위해 분수계수 소산을 포함한 $H^s$-노름을 이용한 에너지 추정을 적용한다.
• 비선형 항을 $L^\infty$ 및 $L^2$ 추정을 통해 이분해 및 푸리에 분석을 이용해 유계화하며, 초기자료의 소규모성을 활용한다.
• 에너지-소산 균형에 그론월의 부등식을 적용하여 해의 균일 유계성과 전역 존재성을 증명한다.
• 해의 차이를 제어하기 위해 $\|\delta u\|_{H^\beta}^2$, $\|\delta\tau\|_{H^\beta}^2$, 그리고 결합 항을 포함하는 수정된 에너지 함수를 도입한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 속도 방정식에 고전적 점성 소산이 없더라도, 고레이놀즈수 및 고웨issen베르그수 Oldroyd-B 모델에 대해 부드러운 전역 해를 확립할 수 있는가?
• RQ2 소규모 초기자료에 대한 전역 적으로 잘 정의된 해를 보장하기 위해 필요한 파장수에 의존하는 소산 $(-\Delta)^\beta$의 최소 강도는 무엇인가?
• RQ3 소규모 초기자료에 대한 전역 적으로 잘 정의된 해 결과는 솔벤트 레이놀즈수에 대해 균일한가? 즉, 관성 효과가 임의로 클 수 있는가?
• RQ4 $\beta < \frac{1}{2}$일 경우에 시스템은 어떻게 되며, 왜 이 프레임워크에서 $\beta \geq \frac{1}{2}$가 임계 임계값이 되는가?
• RQ5 스트레스 방정식에 감쇠 항이 없음(즉, 무한대의 웨issen베르그수를 의미함)에도 불구하고, 분수계수 소산이 폭발을 방지하기 위해 보완될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $\beta \geq \frac{1}{2}$에 대해 시스템 (1.6)은 속도 방정식에 점성 소산이 없더라도 유일한 전역 해를 갖는다.
• 소규모 초기자료가 $H^s$에 속해 있고 $s > 1 + d/2$일 경우, 해는 시간에 대해 균일하게 유계가 된다: $\|u\|_{H^s} + \|\tau\|_{H^s} \leq C\varepsilon$.
• 결과는 솔벤트 레이놀즈수에 대해 균일하므로, $Re$가 얼마나 크든 간에 이 bound는 유지된다.
• 분수계수 소산이 $\beta \geq \frac{1}{2}$일 경우, 비선형 항을 제어하고 폭발을 방지하는 데에 충분하며, 웨issen베르그수가 형식적으로 무한대일 때도 마찬가지다.
• 에너지 추정과 $H^\beta$ 기반 노름, 그리고 시스템을 안정화하기 위해 특별히 구성된 에너지 함수(결합 항 포함)에 의존한다.
• 소규모 초기자료에 대한 전역 적으로 잘 정의된 해는 $\beta < \frac{1}{2}$일 경우 성립하지 않으며, 이 경우는 열린 문제로 남아 있다.