[논문 리뷰] Higher dimensional localized and periodic wave dynamics in a new integrable (2+1)-dimensional Kundu-Mukherjee-Naskar model

Sudhir Singh, Abhik Mukherjee외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 19.

Nonlinear Waves and Solitons참고 문헌 22인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 새로운 통합 가능한 (2+1)차원 쿤두-무크헤르지-나스카르(Kundu-Mukherjee-Naskar, KMN) 모델을 제안하고, 일반화된 이동파 분석, 제이코비 타원 함수, 리카티 방정식, 앤투츠 방법을 사용하여 높은 차원의 국소적이고 주기적인 파동 해법—예를 들어 밝기/어둠의 솔리톤, 복합리톤, 유리수 랩스—을 구축한다. 주요 기여는 외부 시간에 의존하는 외부 힘 항을 통해 역학적 유리수 해법을 도출함으로써 비선형 광학 및 플라즈마 시스템에서 관측 가능한 진폭과 배경 진동을 갖는 조절 가능한 파동 구조를 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this article, a new integrable (2+1)-dimensional Kundu-Mukherjee-Naskar model which is a variant of the well known nonlinear Schrödinger equation is investigated. Bright-dark optical solitons along with periodic waves, complexiton and rational solutions are constructed by employing a generalized traveling wave analysis, Jacobian-elliptic function, Riccati equation and ansatz approach. Further, the dynamics of these bright/dark optical solitons and complexiton/periodic waves are studied by exploring the importance of arbitrary physical parameters with graphical demonstrations for a clear understanding. The obtained higher dimensional nonlinear wave solutions of this integrable system shall have useful applications in different physical systems including the dynamics of beam propagation in optical fibers, ion-acoustic waves in magnetized plasma and deep water oceanic rogue waves.

연구 동기 및 목표

• 새로운 통합 가능한 (2+1)-차원 쿤두-무크헤르지-나스카르(Kundu-Mukherjee-Naskar, KMN) 방정식에서 고차원 국소적이고 주기적인 파동 역학을 조사한다.
• 분석적 방법을 사용하여 빛/어둠의 솔리톤, 복합리톤, 유리수 랩스, 주기적 파동 등 다양한 비선형 파동 해법을 구축한다.
• 도표적 및 분석적 분석을 통해 임의의 물리적 매개변수의 파동 역학에 미치는 영향을 탐구한다.
• 표준 KMN 모델을 시간에 의존하는 외부 힘 항을 도입하여 도입함으로써 관측 가능한 시간에 따라 변하는 진폭과 배경 조절을 갖는 역학적 유리수 해법을 생성한다.
• 이러한 해법이 비선형 광학, 자기장 플라즈마 내 이온 음파, 그리고 깊은 바다의 유랑파 시스템에서 물리적으로 관련성이 있음을 보여준다.

제안 방법

• 일반화된 이동파 환원을 사용하여 (2+1)차원 KMN 방정식을 상미분 방정식으로 변환한다.
• 제이코비 타원 함수 방법을 적용하여 주기적 및 이중 국소화 파동 해법을 유도한다.
• 리카티 방정식 접근법을 사용하여 복합리톤 및 유리수 유형의 해법을 생성한다.
• 앙수 방법을 사용하여 밝기 및 어둠의 광학 솔리톤 해법을 구축한다.
• 외부 힘 항 $ f(t) $ 를 포함한 수정된 KMN 모델을 도입하여 시간에 의존하는 역학적 유리수 해법을 생성한다.
• 회전 변환 $ u(x,y,t) = q(x,y,t) e^{i\bigint f(t) dt} $ 을 적용하여 정적 유리수 해법을 시간에 따라 조절 가능한 동적 해법으로 변환한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 물리적 매개변수는 (2+1)차원 KMN 모델에서 국소적이고 주기적인 파동의 형태, 진폭, 전파 역학에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 분석적 방법을 사용하여 KMN 방정식에서 시스템적으로 파생시킬 수 있는 비선형 파동 해법의 유형—솔리톤, 복합리톤, 유리수 랩스, 주기적 파동—은 무엇인가?
• RQ3 KMN 모델에 시간에 의존하는 힘 항을 도입하면, 특히 진폭과 배경 조절에 관측 가능한 역학적 행동을 보이는 유리수(랩스) 해법을 생성할 수 있는가?
• RQ4 KMN 모델에서 초점화와 산산이 흩트림 비선형성의 상호작용은 단일 산란 메커니즘을 가진 상태에서도 빛/어둠의 솔리톤 해법을 동시에 가능하게 하는가?
• RQ5 역학적 유리수 해법은 광학 웨이브가이드, 플라즈마, 그리고 해양의 유랑파와 같은 물리적 시스템에 어떤 함의를 갖는가?

주요 결과

• 단일 산란 항만을 가진 상태에서 초점화 및 산산이 흩트림 효과를 결합한 혼합 비선형성 덕분에 KMN 모델은 빛/어둠의 솔리톤 해법을 모두 지원한다.
• 이중 국소화 유리수(랩스) 해법이 유도되고 시각화되었으며, 표준 KMN 방정식 하에서 시간이 지남에 따라 안정적인 모듈러스 프로파일을 보였다.
• 시간에 의존하는 힘 항 $ f(t) $ 를 도입함으로써, 표준 형태에서는 시간 의존성이 단지 위상 인자로만 나타나지만, 실수 및 허수 성분은 관측 가능한 진동과 파동 구조 조절을 보였다.
• 특히 $ f(t) = t^2 + 2t - 3 $ 인 경우, 유리수 해법은 시간에 따라 변하는 진폭과 배경 진동을 보이며, 페레그린 솔리톤과 유사한 구조를 띠었으며, 도표적 결과(Fig. 11 및 12)에서 확인되었다.
• 유리수 해법 내의 임의의 매개변수 $ a $ 와 $ c $ 는 파동 프로파일의 급격함, 기울기, 진폭을 제어할 수 있어 조절 가능한 파동 역학을 가능하게 한다.
• 회전 변환 방법을 통해 하나의 정적 해법에서 $ f(t) ∈ C^0 $, 즉 시간의 연속 실수 함수의 선택에 따라 무한한 수의 역학적 유리수 해법을 생성할 수 있다.