[논문 리뷰] Higher fundamental functors for simplicial sets

Marco Grandis|ArXiv.org|2000. 09. 01.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 21인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 대칭 단순형 집합의 토포스로 호모토피 이론을 확장하여, 기본 군환대가 대칭 뉘른스 함수자에 대한 왼쪽 수반 함수자이고 모든 코일리미트를 보존하는 방식으로, 강력하고 코일리미트를 보존하는 세이퍼트–반캄펀 정리의 형태를 제공한다. 이 틀은 고차원으로 일반화되어, 고차원 기본 n-군환대 및 ω-군환대에 대한 왼쪽 수반 함수자를 수립하며, 방향성 있는 단순형 설정에서도 유사한 결과를 얻는다.

ABSTRACT

This is a sequel to a previous paper, developing an intrinsic, combinatorial homotopy theory for simplicial complexes; the latter form the cartesian closed subcategory of 'simple presheaves' in !Smp, the topos of symmetric simplicial sets, or presheaves on the category of finite, positive cardinals. We show here how this homotopy theory can be extended to the topos itself, !Smp. As a crucial advantage, the fundamental groupoid functor !Smp --> Gpd is left adjoint to a natural functor Gpd --> !Smp, the symmetric nerve of a groupoid, and preserves all colimits - a strong van Kampen property. Similar results hold in all higher dimensions. Analogously, a notion of (non-reversible) directed homotopy can be developed in the ordinary simplicial topos Smp, with applications to image analysis as in the previous paper. We have now a 'homotopy n-category functor' Smp --> n-Cat, left adjoint to a nerve functor. This construction can be applied to various presheaf categories; the basic requirements seem to be: finite products of representables are finitely presentable and there is a representable 'standard interval'.

연구 동기 및 목표

• 대칭 단순형 집합의 토포스에서, 강력하고 코일리미트를 보존하는 세이퍼트–반캄펀 정리의 형태를 지원하는 조합론적 호모토피 이론을 개발하는 것.
• 기본 군환대 구조를 고차원으로 확장하여, 고차원 기본 n-군환대 및 ω-군환대를 뉘른스 함수자에 대한 왼쪽 수반 함수자로 정의하는 것.
• 기본 단순형 집합의 표준 토포스에서 방향성 있는 호모토피 이론을 도입하고, 방향성 있는 정수선 ↑Z를 사용하여 기본 범주 함수자(↑Π₁)를 정의하며, 이 함수자가 일반 뉘른스 함수자에 대한 왼쪽 수반 함수자임을 보이는 것.
• 표현 가능 함수자의 유한 곱과 표준 구간을 바탕으로, 프레샤프 카테고리에서 조합론적 호모토피 이론을 구성할 수 있는 조건을 설정하는 것.
• 고차원 기본 ω-군환대 함수자 ↑Πω가 스트리트의 ω-뉘른스와 일치하는지, 그리고 옵티럴이 표준 단체 ∆[n]의 고차원 기본 n-범주로 나타나는지 여부를 조사하는 것.

제안 방법

• 기본 군환대 Π₁이 대칭 뉘른스 함수자 M₁에 대한 왼쪽 수반 함수자임을 보장하는 배경 카테고리로 대칭 단순형 집합의 토포스 (!Smp)를 사용한다.
• 프레샤프의 내부 함수자에 대한 엔도함수자에 대한 끌어올림 기법을 적용하여, 고차원 기본 함수자의 계산을 기본적인 집합 값을 갖는 함수자로 축소한다.
• 대칭 케이스에서는 조합론적 정수선 Z, 방향성 케이스에서는 ↑Z를 매개변수로 사용하는 호모토피를 정의하며, 연속성 또는 연속성 관계를 사용한다.
• 경로 객체의 필터링된 코일리미트를 사용하여, 고차원 기본 n-범주 함수자 ↑Πₙ을 제한된 뉘른스 함수자 Nₙ에 대한 왼쪽 수반 함수자로 구성한다.
• 표현 가능 프레샤프의 유한 곱이 표현 가능 함수자의 유한 코일리미트임을 보장하는 조건 A를 설정하고, 표준 구간 [1]이 가환적이고 인보리션 구조를 갖는 큐브로이드 모노이드를 유도하는 조건 B를 설정함으로써 호모토피 구성이 가능하게 한다.
• 조건 (A)과 (B)를 만족하는 프레샤프 토포스에서의 조합론적 호모토피 이론을 일반화한 틀을 제안하며, 이는 단순형, 큐브형, 글로불러 형 사이트에 적용 가능하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대칭 단순형 집합의 기본 군환대가 대칭 뉘른스 함수자에 대한 왼쪽 수반 함수자로 실현될 수 있으며, 이로 인해 모든 코일리미트를 보존하고 강력한 반캄펀 정리를 도출할 수 있는가?
• RQ2 대칭 단순형 집합에서 고차원 기본 n-군환대도 뉘른스 함수자에 대한 왼쪽 수반 함수자로 유도되는가? 그리고 그 대수적 구조는 어떠한가?
• RQ3 일반 단순형 집합의 방향성 토포스 Smp에서, 기본 범주 함수자 ↑Π₁이 코일리미트를 보존하고 일반 뉘른스 함수자 N₁에 대한 왼쪽 수반 함수자인가?
• RQ4 단순형 집합에서의 고차원 기본 ω-범주 함수자 ↑Πω가 스트리트의 ω-뉘른스와 동형이며, 표준 n-단체 ∆[n]이 옵티럴 On으로 보존되는가?
• RQ5 어떤 사이트 조건이 조합론적 호모토피 이론을 구성할 수 있도록 보장하며, 코일리미트를 보존하는 기본 함수자를 갖는가?

주요 결과

• 대칭 단순형 집합에서의 기본 군환대 함수자 Π₁은 대칭 뉘른스 함수자 M₁에 대한 왼쪽 수반 함수자이며, 따라서 모든 코일리미트를 보존한다. 이는 강력하고 단순한 세이퍼트–반캄펀 정리의 형태를 제공한다.
• !Smp에서의 고차원 기본 n-군환대는 뉘른스 함수자에 대한 왼쪽 수반 함수자로 구성되며, 풀어내기 정리 (3.9)는 그 존재성과 코일리미트 보존 성질을 보장한다.
• Smp의 방향성 토포스에서, 기본 범주 함수자 ↑Π₁는 일반 뉘른스 함수자 N₁에 대한 왼쪽 수반 함수자이며 모든 코일리미트를 보존한다. 이는 고전적인 반캄펀 결과를 일반화한다.
• Smp에서의 고차원 기본 n-범주 함수자 ↑Πₙ는 제한된 뉘른스 함수자 Nₙ에 대한 왼쪽 수반 함수자이며, ↑Πₙ는 모든 코일리미트를 보존한다. 이는 강력한 호모토피 성질을 암시한다.
• 논문은 ↑Πω(∆[n])가 스트리트의 옵티럴 On과 일치할 수 있음을 제안하며, ω-뉘른스 Nω가 스트리트의 ω-뉘른스와 동치일 수 있음을 제기하지만, 이는 아직 미해결 문제이다.
• 조건 (A)와 (B)—표현 가능 함수자의 유한 곱과 표준 구간이 인보리션 구조를 갖는 가환 큐브로이드 모노이드를 유도하는 것—은 프레샤프 토포스에서 조합론적 호모토피 이론을 구성하는 일반적인 틀을 형성한다.