[논문 리뷰] Higher order Trace Finite Element Methods for the Surface Stokes Equation

Thomas Jankuhn, Arnold Reusken|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 18.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 32인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 매개변수 추적 유한요소와 타일러후드 $\mathbf{P}_k$--$P_{k-1}$ 공간을 사용하여 표면 스토크스 방정식에 대해 고차원 추적 유한요소법을 제안한다. 이는 비틀림 속도 제약 조건을 강제하기 위해 페널티 방법을 적용한다. $k=2$ 및 $k=3$일 때, 이 방법은 $H^1$ 및 $L^2$ 노름에서 $h^{k}$의 최적 수렴 속도를 달성하며, Weingarten 지도 근사가 필요한 일관된 설정과 계산의 단순성을 제공하는 일관되지 않은 변형이 있다.

ABSTRACT

In this paper a class of higher order finite element methods for the discretization of surface Stokes equations is studied. These methods are based on an unfitted finite element approach in which standard Taylor-Hood spaces on an underlying bulk mesh are used. For treating the constraint that the velocity must be tangential to the surface a penalty method is applied. Higher order geometry approximation is obtained by using a parametric trace finite element technique, known from the literature on trace finite element methods for scalar surface partial differential equations. Based on theoretical analyses for related problems, specific choices for the parameters in the method are proposed. Results of a systematic numerical study are included in which different variants are compared and convergence properties are illustrated.

연구 동기 및 목표

• 곡면에서 고차 정확도로 표면 스토크스 방정식을 해결하는 데 도전하는 문제를 다루기.
• 변형하는 표면에 대해 표면 메esh 재구성 없이도 안정적인 비틀림 유한요소 방법 개발.
• 기하 근사 오차와 비틀림 속도 제약 조건이 존재하더라도 최적 수렴 속도 확보.
• 추적 FEM에서 정확성과 안정성을 균형 잡는 페널티 및 안정화 매개변수의 선택 제안.
• 고차 설정에서 비틀림 흐름 강제 조건을 위한 일관되고 일관되지 않은 페널티 설정 간의 비교.

제안 방법

• 표준 타일러후드 유한요소 공간을 기반으로 한 비틀림 배치 메esh를 사용하는 추적 유한요소 방법을 적용.
• 비틀림 속도 제약 조건을 강제하기 위해 페널티 설정을 사용하며, 일관되고 일관되지 않은 두 가지 변형을 적용.
• 표면의 고차 기하 근사를 달성하기 위해 매개변수 추적 유한요소 기법을 적용.
• 비틀림 설정에서 작은 요소 컷으로 인한 불안정성을 제어하기 위해 안정화 항을 도입.
• 에너지 노름, 일관성 및 안정화 성분을 포함하는 변분 설정을 통해 이산 시스템을 정의.
• 특히 페널티 및 안정화 매개변수에 대해 관련 문제의 이론적 분 析 기반으로 매개변수 스케일링 규칙 유도.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고차 추적 유한요소 방법이 표면 스토크스 방정식에 대해 최적 수렴을 달성할 수 있는가?
• RQ2 일관되고 일관되지 않은 페널티 설정 간의 선택이 정확성과 안정성에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ3 기하 오차 존재 시 최적 수렴을 확보하기 위해 어떤 매개변수 스케일링(페널티, 안정화)이 필요한가?
• RQ4 기하 근사 오차가 추적 FEM의 전체 이산화 오차에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 일관되지 않은 페널티 설정에 대해 최적 오차 한계를 설정할 수 있으며, 이는 수치적으로 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• $k=2$ 및 $k=3$일 때, 속도의 $H^1$ 및 $L^2$ 노름에서 $h^k$의 최적 수렴 속도를 달성하며, $k=2$는 $\mathcal{O}(h^2)$, $k=3$는 $\mathcal{O}(h^3)$ 수렴을 보인다.
• 일관된 설정(P1h)은 에너지 노름 $e_A^\mathbf{u} \sim h^{k}$를 포함한 모든 오차 성분에서 $\mathcal{O}(h^{k})$ 수렴을 달성한다.
• 일관되지 않은 설정(P2h)은 $a_h$ 및 $s_h$에서 $\mathcal{O}(h^{k})$ 수렴을 보이나, $e_A^\mathbf{u} \sim h^{(k+1)/2}$로 나타나 에너지 노름 수렴이 부분적으로 최적 수렴이 아니다.
• 구와 토러스 양쪽에서 관측된 수렴 속도는 이론적 기대와 일치하며, $\boldsymbol{P}_3$--$P_2$의 경우 마지막 메쉬 세분화 단계에서 행렬 조건수로 인해 약간의 악화가 발생한다.
• 일관된 방법은 Weingarten 지도 계산이 필요로 하며, 일관되지 않은 방법은 이를 회피하여 계산상의 이점 제공.
• 수치 결과는 제안된 매개변수 선택이 다양한 표면 기하 구조 및 메쉬 세분화 수준에서 안정적이고 정확한 해를 도출함을 확인한다.