[论文解读] Higher S-dualities and Shephard-Todd groups

Sergio Cecotti, Michele Del Zotto|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 26被引用 6

一句话总结

本文通过麦凯对应关系，将物质电荷晶格与反射群联系起来，为4d $\epsilon=2$ 超共形场论（SCFTs）中的S对偶性建立了同调框架。结果表明，S对偶性群通过谢泼德-托德群——$\mathfrak{S}_3$、$G_4$、$G_8$ 及其乘积——实现，这些群在$\mathbb{Q}$、$\mathbb{Q}(\omega)$ 和 $\mathbb{Q}(i)$ 上作为酉反射作用，且在不同复乘法域中保持结构一致。

ABSTRACT

Seiberg and Witten have shown that in N=2 SQCD with $N_f=2N_c=4$ the S-duality group PSL(2,Z) acts on the flavor charges, which are weights of Spin(8), by triality. There are other N=2 SCFTs in which SU(2) SYM is coupled to strongly-interacting non-Lagrangian matter: their matter charges are weights of $E_6$, $E_7$ and $E_8$ instead of Spin(8). The S-duality group PSL(2,Z) acts on these weights: what replaces Spin(8) triality for the $E_6,E_7,E_8$ root lattices? In this paper we answer the question. The action on the matter charges of (a finite central extension of) PSL(2,Z) factorizes trough the action of the exceptional Shephard--Todd groups $G_4$ and $G_8$ which should be seen as complex analogs of the usual triality group $\mathfrak{S}_3\simeq \mathrm{Weyl}(A_2)$. Our analysis is based on the identification of S-duality for SU(2) gauge SCFTs with the group of automorphisms of the cluster category of weighted projective lines of tubular type.

研究动机与目标

• 为具有 $E_6^{(1,1)}$、$E_7^{(1,1)}$ 和 $E_8^{(1,1)}$ 全局对称性的 $\mathcal{N}=2$ 超共形场论发展一种S对偶性的同调方法。
• 将物质电荷晶格 $\Gamma_{\text{matter}}$ 识别为在反射群作用下根晶格 $\Gamma_{\mathfrak{g}}$ 的商。
• 通过具有不同节点顺序的共同 $A_2$-型 Dynkin 图结构，统一不同复乘法域（$\mathbb{Q}$、$\mathbb{Q}(\omega)$、$\mathbb{Q}(i)$）中的S对偶性作用。
• 将S对偶性群实现为 $PSL(2,\mathbb{Z})$ 的中心扩张的商，将模形式群表示与物理对偶性对称性联系起来。
• 提供S对偶性在完整电荷晶格上的显式矩阵表示，保持狄拉克配对与卡坦形式。

提出的方法

• 利用麦凯对应关系，将 $SU(2)$ 的有限子群与仿射 Dynkin 图 $E_6^{(1)}$、$E_7^{(1)}$ 和 $E_8^{(1)}$ 关联，从而连接物质表示结构。
• 通过 Tits 形 $q$ 的根空间构造物质电荷晶格 $\Gamma_{\text{matter}}$，满足 $\Gamma_{\text{matter}} \cong \Gamma_{\mathfrak{g}}$，其中同构由 $E^{-1}$ 诱导。
• 应用单边上三角矩阵 $E$ 编码导出范畴中生成层之间的欧拉形式，其中 $\boldsymbol{\Phi} = -E(E^t)^{-1}$ 表示考克斯eter元。
• 通过作用于完整电荷晶格 $\Gamma$ 的积分 $(r(\mathfrak{g})+2) \times (r(\mathfrak{g})+2)$ 矩阵实现S对偶性作用，保持卡坦矩阵与狄拉克配对。
• 将物质群 $G_{\text{matter}}$ 识别为谢泼德-托德群：$\mathfrak{S}_3$、$G_4$、$G_8$ 及其乘积，它们在 $\Gamma_{\mathfrak{g}} \otimes \mathbb{C}$ 上通过不可约表示 $W$、$R$、$F$ 和 $\chi$ 作用。
• 利用典范的模2满射 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \ltimes SL(2,\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}) \to PSL(2,\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$，将 $W$-表示提升至 $p=4$ 情况。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有 $E_6^{(1,1)}$、$E_7^{(1,1)}$ 和 $E_8^{(1,1)}$ 全局对称性的 $\mathcal{N}=2$ SCFT中，S对偶性如何作用于物质电荷？
• RQ2 谢泼德-托德群 $G_4$、$G_8$ 和 $\mathfrak{S}_3$ 在不同复乘法域上实现S对偶性群时起什么作用？
• RQ3 物质电荷晶格 $\Gamma_{\text{matter}}$ 的结构如何与根晶格 $\Gamma_{\mathfrak{g}}$ 及 Tits 形 $q$ 相关联？
• RQ4 通过导出范畴与欧拉形式的同调框架如何编码S对偶性变换？
• RQ5 对于 $p=3,4,6$，物质群的不可约表示如何分解复化根空间 $\Gamma_{\mathfrak{g}} \otimes \mathbb{C}$？

主要发现

• 当 $p=3$ 时，复化根空间 $\Gamma_{E_6} \otimes \mathbb{C}$ 分解为 $\boldsymbol{1} \oplus \boldsymbol{1} \oplus R \oplus \overline{R}$，其中 $R$ 是 $G_4$ 的二维不可约表示。
• 当 $p=4$ 时，$\Gamma_{E_7} \otimes \mathbb{C} \simeq \boldsymbol{1} \oplus W \oplus F \oplus \overline{F}$，其中 $F$ 是 $G_8$ 的定义二维表示。
• 当 $p=6$ 时，$\Gamma_{E_8} \otimes \mathbb{C} \simeq \chi \oplus \overline{\chi} \oplus (W,\boldsymbol{1}) \oplus (\boldsymbol{1},R) \oplus (\boldsymbol{1},\overline{R})$，其中 $\chi$ 是 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 的一维本原特征标。
• S对偶性作用保持卡坦矩阵、狄拉克电磁配对以及电荷晶格 $\Gamma$ 的整数结构。
• 物质电荷晶格 $\Gamma_{\text{matter}}$ 通过单边矩阵 $E$ 的逆与根晶格 $\Gamma_{\mathfrak{g}}$ 同构，满足 $\overline{q}(\boldsymbol{x}) = q_{\mathfrak{g}}(\boldsymbol{y})$，其中 $\boldsymbol{x} = E^{-1}\boldsymbol{y}$。
• 反射群 $G_{\text{matter}}$ 被实现为 $PSL(2,\mathbb{Z})$ 的中心扩张的商，满足 $G_8 \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \ltimes SL(2,\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})$，且通过模2满射，$W$-表示可被提升至 $PSL(2,\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$。