[논문 리뷰] Higher string topology on general spaces

Po Hu|ArXiv.org|2004. 01. 08.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 끝내기 전에 고차원 다양체와 유한 CW 복합체로 문자 위상수학을 일반화한다. 스펙트럼 $\mathrm{Maps}(S^k, X)^{S(X)}$를 구성하여, 이 스펙트럼의 정수 계량 복합체가 $\mathcal{C}_k$-대수에서의 호크시ลด 코homology를 통해 $\mathcal{C}_{k+1}$-대수의 구조를 갖는다. 핵심 결과는 이 계량 복합체와 $C^*X$ 및 $C_*\Omega^kX$의 호크시ลด 코homology 사이에 호모토피 동치가 존재한다는 것을 증명하며, 찰스-설리반과 코헨-존스의 결과를 일반적인 유한 차원 단순 복합체로 확장한다.

ABSTRACT

In this paper, I give a generalized analogue of the string topology results of Chas and Sullivan, and of Cohen and Jones. For a finite simplicial complex $X$ and $k \geq 1$, I construct a spectrum $Maps(S^k, X)^{S(X)}$, and show that the corresponding chain complex is naturally homotopy equivalent to an algebra over the $(k+1)$-dimensional unframed little disk operad $\mathcal{C}_{k+1}$. I also prove Kontsevich's conjecture that the Quillen cohomology of a based $\mathcal{C}_k$-algebra (in the category of chain complexes) is equivalent to a shift of its Hochschild cohomology, as well as prove that the operad $C_{\ast}\mathcal{C}_k$ is Koszul-dual to itself up to a shift in the derived category. This gives one a natural notion of (derived) Koszul dual $C_{\ast}\mathcal{C}_k$-algebras. I show that the cochain complex of $X$ and the chain complex of $Ω^k X$ are Koszul dual to each other as $C_{\ast}\mathcal{C}_k$-algebras, and that the chain complex of $Maps(S^k, X)^{S(X)}$ is naturally equivalent to their (equivalent) Hochschild cohomology in the category of $C_{\ast}\mathcal{C}_k$-algebras.

연구 동기 및 목표

• 찰스-설리반의 문자 위상수학과 코헨-존스의 호모토피 이론적 실현을 일반적인 유한 차원 단순 복합체에서 고차원에 대응하는 형태로 확장한다.
• 모든 유한 CW 복합체 $X$에 대해, 스펙트럼 $\mathrm{Maps}(S^k, X)^{S(X)}$의 계량 복합체에 $\mathcal{C}_{k+1}$-대수의 구조를 수립한다.
• 이 계량 복합체가 $\mathcal{C}_k$-대수의 범주에서 $C^*X$의 호크시ลด 코homology 복합체와 자연스럽게 동치임을 증명한다.
• 콘체비치의 추측을 검증한다: 기본 $\mathcal{C}_k$-대수에서의 퀼렌 코hom로지와 호크시ลด 코hom로지 사이에 이동 동치가 존재한다.
• 운영자 $\mathcal{C}_k$가 이동에 따라 자기 자신과 유사한 유도된 코즐 듀얼리티를 갖는다는 것을 수립하며, $\mathcal{C}_k$-대수에 대해 호모토피 코즐 듀얼리티의 개념을 정의한다.

제안 방법

• 일반적인 단순 복합체를 $S^N$에 삽입하여, $X$ 위에 매개화된 스펙트럼 $S(X)$를 구성한다. 이는 일반적인 단순 복합체의 안정적 법선 번들의 모델링을 위한 것이다.
• 매핑 공간에 대해 $S(X)$를 기반으로 한 스펙트럼으로서, $\mathrm{Maps}(S^k, X)^{S(X)}$의 톰 스펙트럼을 정의한다. 이는 톰 구성의 일반화이다.
• 계량 복합체 $C_*\mathrm{Maps}(S^k, X)^{S(X)}$가 $\mathcal{C}_k$-대수의 범주에서의 호크시ลด 코homology 복합체 $HC^*_{C_*\mathcal{C}_k}(C^*X)$와 자연스럽게 동치임을 증명한다.
• 문헌 [9]의 결과를 활용하여, $\mathcal{C}_k$-대수에서의 호크시ลด 코homology 복합체가 자연스럽게 $\mathcal{C}_{k+1}$-대수의 구조를 갖는다는 것을 이용하여, $\mathcal{C}_{k+1}$-대수의 구조를 유도한다.
• 호모토피 범주에서의 $\mathcal{C}_k$-대수의 이론을 활용하여, $C^*X$와 $C_*\Omega^kX$가 서로 코즐 듀얼리티임을 연결한다.
• 에일렌베르크-무어 스펙트럼 열과 구성 공간 모델을 사용하여, $\mathcal{C}_k$-대수에서의 비기본 호크시ลด 코homology가 호모토피 코즐 듀얼리티에 대해 불변임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 찰스와 설리반의 문자 위상수학 연산은 2차원 프레임된 디스크에서 고차원 비프레임된 리틀 디스크 운영자 $\mathcal{C}_k$로 일반화될 수 있는가? 이는 일반적인 유한 차원 단순 복합체에서 가능할까?
• RQ2 모든 유한 차원 단순 복합체 $X$에 대해, 톰 스펙트럼 $\mathrm{Maps}(S^k, X)^{S(X)}$의 계량 복합체는 자연스럽게 $\mathcal{C}_{k+1}$-대수의 구조를 갖는가?
• RQ3 기본 $\mathcal{C}_k$-대수의 범주에서 $C^*X$의 호크시ลด 코homology 복합체는 $C_*\mathrm{Maps}(S^k, X)^{S(X)}$의 $\mathcal{C}_{k+1}$-대수의 구조를 복원하는가?
• RQ4 콘체비치의 추측은 맞는가? 즉, 기본 $\mathcal{C}_k$-대수에서의 퀼렌 코hom로지가 호크시ลด 코hom로지의 이동과 동치인가?
• RQ5 운영자 $\mathcal{C}_k$는 이동에 따라 자기 자신과 유사한 유도된 코즐 듀얼리티를 갖는가? 그리고 이 듀얼리티가 호크시ลด 코homology를 유지하는가?

주요 결과

• 모든 유한 CW 복합체 $X$와 $k \geq 1$에 대해, 계량 복합체 $C_*\mathrm{Maps}(S^k, X)^{S(X)}$는 자연스럽게 $\mathcal{C}_{k+1}$-대수의 구조를 갖는다. 이는 고차원으로의 바탈린-빌코비치의 구조를 일반화한다.
• 자연스러운 호모토피 동치 $C_*\mathrm{Maps}(S^k, X)^{S(X)} \simeq HC^*_{C_*\mathcal{C}_k}(C^*X)$가 존재하며, 이는 톰 스펙트럼의 계량 복합체가 $\mathcal{C}_k$-대수의 범주에서 $C^*X$의 호크시ลด 코homology 복합체와 동형임을 보여준다.
• 기본 $\mathcal{C}_k$-대수의 호모토피 범주에서 $C^*X$의 코계량 대수와 $C_*\Omega^kX$의 기반 루프 공간 계량 복합체는 서로 코즐 듀얼리티를 이룬다. 이는 코헨의 $k=1$일 때의 추측을 일반화한다.
• 콘체비치의 추측은 증명되었다: 기본 $\mathcal{C}_k$-대수에서의 퀼렌 코hom로지와 호크시ลด 코hom로지 사이에 이동 동치가 존재하며, 특히 $\mathrm{Quillen}^i \simeq \mathrm{HH}^{i+k}$이다.
• 운영자 $\mathcal{C}_k$는 이동에 따라 자기 자신과 유사한 유도된 코즐 듀얼리티를 갖는다. 이는 $\mathcal{C}_k$-대수에 대해 호모토피 코즐 듀얼리티의 개념을 정의한다.
• 비기본 호크시ลด 코homology는 호모토피 코즐 듀얼리티에 대해 불변이며, $HC^*_{C_*\mathcal{C}_k}(C^*X) \simeq HC^*_{C_*\mathcal{C}_k}(C_*\Omega^kX)$이다. 이는 $k+1$-연결 복합체에 대해 주요 추론을 이끌어낸다.