[论文解读] Higher symmetric powers of tautological bundles on Hilbert schemes of points on a surface

Luca Scala|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 33被引用 6

一句话总结

本文建立了对光滑曲面上点的 Hilbert 模丛上 tautological bundles 的高阶对称幂 $ S^kL^{[n]} $ 的 Bridgeland-King-Reid 变换的几何刻画。它在 Hilbert-Chow 映射下的直接像上构造了一个有限递减滤子，其分次项通过高阶限制算子 $ D^l_L $ 的核控制，从而导出在正性条件下关于 twisted 对称幂的谱序列与上同调消去定理。

ABSTRACT

We study general symmetric powers $S^k L^{[n]}$ of a tautological bundle $L^{[n]}$ on the Hilbert scheme $X^{[n]}$ of $n$ points over a smooth quasi-projective surface $X$, associated to a line bundle $L$ on $X$. Let $V_L$ be the $\mathfrak{S}_n$-vector bundle on $X^n$ defined as the exterior direct sum $L \boxplus \cdots \boxplus L$. We prove that the Bridgeland-King-Reid transform $\mathbfΦ(S^k L^{[n]})$ of symmetric powers $S^k L^{[n]}$ is quasi isomorphic to the last term of a finite decreasing filtration on the natural vector bundle $S^k V_L$, defined by kernels of operators $D^l_L$, which operate locally as higher order restrictions to pairwise diagonals. We use this description and the natural filtration on $(S^k V_L)^{\mathfrak{S}_n}$ induced by the decomposition in direct sum, to obtain, for $n =2$ or $k \leq 4$, a finite decreasing filtration $\mathcal{W}^\bullet$ on the direct image $μ_*(S^k L^{[n]})$ for the Hilbert-Chow morphism whose graded sheaves we control completely. As a consequence of this structural result, we obtain a chain of cohomological consequences, like a spectral sequence abutting to the cohomology of symmetric powers $S^k L^{[n]}$, an effective vanishing theorem for the cohomology of symmetric powers $S^k L^{[n]} \otimes \mathcal{D}_A$ twisted by the determinant, in presence of adequate positivity hypothesis on $L$ and $A$, as well as universal formulas for their Euler-Poincaré characteristic.

研究动机与目标

• 研究光滑曲面上点的 Hilbert 模丛上 tautological bundles 的高阶对称幂 $ S^kL^{[n]} $ 的上同调。
• 通过有限递减滤子 $ \mathcal{W}^\bullet $，理解 $ \rho_*S^kL^{[n]} $（即 Hilbert-Chow 映射下的直接像）的结构。
• 在 $ L $ 与 $ A $ 满足正性假设的条件下，推导 $ S^kL^{[n]} \otimes \mathcal{D}_A $ 的上同调后果，包括谱序列与消去定理。
• 为 tautological bundles 的对称幂的欧拉-庞加莱特征数提供通用公式。

提出的方法

• 利用 Bridgeland-King-Reid 等价性，将 $ S^kL^{[n]} $ 变换为与 $ S^kV_L $ 上滤子最后一项 quasi-isomorphic 的复形，其中 $ V_L $ 是 $ \mathfrak{S}_n $-等变丛 $ L^{\boxplus n} $。
• 定义高阶限制算子 $ D^l_L $，其在 $ X^n $ 上局部作用为对成对对角线的限制，并利用其核在 $ S^kV_L $ 上构造滤子。
• 利用 $ S^kV_L $ 的 $ \mathfrak{S}_n $-不变分解，在 $ \rho_*S^kL^{[n]} $ 上诱导出滤子 $ \mathcal{W}^\bullet $，其分次项可被控制。
• 应用谱序列技术计算 $ S^kL^{[n]} $ 的上同调，尤其针对 $ n=2 $ 或 $ k\leq 4 $ 的情形。
• 利用 Koszul 复形与多重张量积分析不变量，并推导欧拉-庞加莱特征数的通用公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 $ S^kL^{[n]} $ 的 Bridgeland-King-Reid 变换的结构是什么？
• RQ2 如何在 Hilbert-Chow 映射下对 $ \rho_*S^kL^{[n]} $ 构造具有可控分次项的有限递减滤子？
• RQ3 在 $ L $ 与 $ A $ 满足正性条件时，$ S^kL^{[n]} \otimes \mathcal{D}_A $ 的哪些上同调消去定理成立？
• RQ4 是否存在 $ S^kL^{[n]} $ 的欧拉-庞加莱特征数的通用公式？

主要发现

• Bridgeland-King-Reid 变换的 $ S^kL^{[n]} $ 与 $ S^kV_L $ 上由高阶限制算子 $ D^l_L $ 的核定义的有限递减滤子的最后一项 quasi-isomorphic。
• 当 $ n=2 $ 或 $ k\leq 4 $ 时，构造了 $ \rho_*S^kL^{[n]} $ 上的有限递减滤子 $ \mathcal{W}^\bullet $，其分次项可显式控制。
• 存在一个谱序列，其极限为 $ S^kL^{[n]} $ 的上同调，该谱序列源于 $ \rho_*S^kL^{[n]} $ 上的滤子。
• 获得一个有效的消去定理：若 $ L $ 与 $ A $ 足够正，则 $ H^q(X^{[n]}, S^kL^{[n]} \otimes \mathcal{D}_A) = 0 $ 对所有 $ q>0 $ 成立。
• 推导出对所有 $ n $ 与 $ k $ 都成立的欧拉-庞加莱特征数 $ \chi(X^{[n]}, S^kL^{[n]} \otimes \mathcal{D}_A) $ 的通用公式。