[论文解读] Hilbert Transform, Analytic Signal, and Modulation Analysis for Graph Signal Processing

Arun Venkitaraman, Saikat Chatterjee+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2016

Advanced Graph Neural Networks参考文献 62被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于图的希尔伯特变换与解析信号框架，用于图上的信号，利用图傅里叶变换（GFT）的共轭对称性类似特性，实现单边谱。该方法支持对图信号进行振幅、相位和频率调制分析，关键结果表明：在结合DFT与GFT特征时，说话人分类性能提升2%；在图像和语音信号中能有效突出异常点。

ABSTRACT

We propose Hilbert transform (HT) and analytic signal (AS) construction for signals over graphs. This is motivated by the popularity of HT, AS, and modulation analysis in conventional signal processing, and the observation that complementary insight is often obtained by viewing conventional signals in the graph setting. Our definitions of HT and AS use a conjugate-symmetry-like property exhibited by the graph Fourier transform (GFT). We show that a real graph signal (GS) can be represented using smaller number of GFT coefficients than the signal length. We show that the graph HT (GHT) and graph AS (GAS) operations are linear and shift-invariant over graphs. Using the GAS, we define the amplitude, phase, and frequency modulations for a graph signal (GS). Further, we use convex optimization to develop an alternative definition of envelope for a GS. We illustrate the proposed concepts by showing applications to synthesized and real-world signals. For example, we show that the GHT is suitable for anomaly detection/analysis over networks and that GAS reveals complementary information in speech signals.

研究动机与目标

• 将传统的希尔伯特变换与解析信号概念推广至图信号，受其在1D/2D信号处理中成功应用的启发。
• 利用图傅里叶变换（GFT）基的共轭对称性类似特性，为图解析信号定义单边谱。
• 实现对图信号的调制分析（振幅、相位、频率），为图信号处理提供新工具。
• 展示图希尔伯特变换在检测图结构化数据中异常与不连续性方面的实用性。
• 证明基于图的调制特征可提升真实世界应用（如说话人识别）中的分类性能。

提出的方法

• 利用GFT基的共轭对称性类似特性定义图希尔伯特变换，确保实图信号具有单边谱。
• 将图解析信号定义为原始信号与通过图希尔伯特变换获得的虚部之和。
• 建立类似于1D情形的数学性质，如等距性、相位移动与正交性。
• 通过图像与语音数据的实证表明，图希尔伯特变换能有效突出边缘与不连续性。
• 使用最小二乘优化方法从语音数据中学习图邻接矩阵，通过约束确保连通性并避免病态条件。
• 使用来自振幅调制与频率调制的DFT与GFT特征向量，对语音帧进行神经网络分类器训练。

实验结果

研究问题

• RQ1 希尔伯特变换与解析信号能否在保留1D信号处理关键特性的同时，有意义地推广至图信号？
• RQ2 图希尔伯特变换是否继承了1D信号中对异常点（特别是图结构化数据中的不连续性）的突出特性？
• RQ3 与传统的1D调制相比，基于图的振幅与频率调制在多大程度上提供互补信息？
• RQ4 所提出的图调制分析能否提升真实世界分类任务（如说话人识别）的性能？
• RQ5 图希尔伯特变换是否满足如传统1D情形一样的Bedrosian性质？

主要发现

• 图希尔伯特变换在2D图像信号中有效突出边缘与信号不连续性，通过原始信号与变换后信号的视觉对比得到验证。
• 图解析信号继承了1D情形中的关键性质，如等距性、相位移动与正交性，证实其数学一致性。
• 图希尔伯特变换通常不满足Bedrosian性质，与其中1D对应物存在区别。
• 分类器3（结合图调制的DFT与GFT特征）达到72.6%的分类准确率，优于仅使用DFT的分类器（70.8%），性能最高提升2%。
• 当隐藏神经元数量超过五个后，神经网络性能趋于饱和，表明图特征在极低模型复杂度下已具备足够的判别能力。
• 将语音信号视为图信号，可捕捉超出时序邻近关系的更广泛信号相关性，结合1D特征后显著提升说话人分类性能。