[논문 리뷰] Hitting Times of an Inverse Gaussian Process

P. Vellaisamy, Arun Kumar|arXiv (Cornell University)|2013. 01. 01.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 25인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 역가우시안 과정의 첫 번째 도달 시간 과정을 조사하여, 이 과정이 레비 과정이 아니지만 연속적이고 단조로이 증가하는 표본 경로를 가짐을 증명한다. 정확한 밀도 함수와 누적분포 함수를 유도하고, 지수 꼬리 감쇠를 보이며, 밀도 함수가 분수형 편미분방정식(PDE)을 만족함을 보이며, 브라운 운동에 대한 보조를 통해 β-스테이블 및 온화된 스테이블 과정으로 확장된다.

ABSTRACT

The first hitting time process of an inverse Gaussian process is considered. It is shown that this process is not Levy and has monotonically increasing continuous sample paths. The density functions of one-dimensional distributions of the process are obtained. Its distribution functions are not infinitely divisible and their tail probability decay exponentially. A similar result is obtained for the hitting time of a β-stable process. The density function is shown to solve a fractional PDE and then generalized to tempered stable process. Subordination of the hitting time process to Brownian motion and the underlying PDE of the subordinated process is derived.

연구 동기 및 목표

• 역가우시안 과정의 첫 번째 도달 시간 과정을 특성화하고 그 확률적 성질을 규명하는 것.
• 도달 시간 과정의 정확한 밀도 함수와 누적분포 함수를 도출하는 것.
• 도달 시간 분포의 무한 나누어짐 성질과 꼬리 행동을 조사하는 것.
• 브라운 운동에 대한 보조를 통해 결과를 β-스테이블 및 온화된 스테이블 과정으로 확장하는 것.

제안 방법

• 첫 번째 도달 시간의 밀도 함수를 제1통과 시간 분석을 사용하여 유도한다.
• 표본 경로 성질을 분석하여 연속성과 단조 증가성을 입증한다.
• 분포가 무한 나누어지지 않으며 꼬리 확률에서 지수 감쇠를 보임을 보인다.
• 도달 시간 밀도 함수가 분수형 편미분방정식(PDE)을 만족함을 보인다.
• PDE 프레임워크를 β-스테이블 과정으로 확장하고, 온화된 스테이블 과정으로 일반화한다.
• 도달 시간 과정이 표준 브라운 운동에 대해 보조됨을 확립하고, 보조된 과정에 해당하는 PDE를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 역가우시안 과정의 첫 번째 도달 시간 과정의 표본 경로 성질은 무엇인가?
• RQ2 도달 시간 분포는 무한 나누어지며, 꼬리 행동은 어떠한가?
• RQ3 도달 시간 밀도 함수는 분수형 PDE의 해로 특성화될 수 있는가?
• RQ4 이 프레임워크는 β-스테이블 및 온화된 스테이블 과정으로 어떻게 확장되는가?
• RQ5 도달 시간 과정과 브라운 운동 사이의 관계는 보조를 통해 어떻게 규명되는가?

주요 결과

• 역가우시안 과정의 첫 번째 도달 시간 과정은 연속적이고 단조로이 증가하는 표본 경로를 가진다.
• 도달 시간 분포는 무한 나누어지지 않으며 꼬리 확률에서 지수 감쇠를 보인다.
• 도달 시간 밀도 함수는 분수형 PDE를 만족하여 비정상적 확산 과정과의 연결 고리를 설정한다.
• 결과는 β-스테이블 과정으로 확장되며, 이 경우 도달 시간 밀도 함수 역시 분수형 PDE를 만족한다.
• 온화된 스테이블 과정의 경우, PDE 해법의 프레임워크가 일반화되어 지수 꼬리 감쇠를 유지한다.
• 도달 시간 과정은 표준 브라운 운동에 대해 보조되며, 보조된 과정을 지배하는 PDE가 명시적으로 유도된다.