[论文解读] Hodge integrals in FJRW theory

Jérémy Guéré|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文提出一个通用公式，用于计算链多项式且具有任意对称群的高亏格 FJRW 理论中，Polishchuk 和 Vaintrob 的虚拟类与霍奇丛的上顶类的上积。通过使用递归向量丛复形与 K-理论的消去性质，推导出一个涉及等变特征类的极限公式，该公式在无需半单性假设下依然成立，从而实现了对模空间上 $(W,G)$-自旋曲线的霍奇积分与塔多洛吉关系的显式计算。

ABSTRACT

We study higher genus Fan--Jarvis--Ruan--Witten theory of any chain polynomial with any group of symmetries. Precisely, we give an explicit way to compute the cup product of Polishchuk and Vaintrob's virtual class with the top Chern class of the Hodge bundle. Our formula for this product holds in any genus and without any assumption on the semi-simplicity of the underlying cohomological field theory.

研究动机与目标

• 为具有链多项式的 Landau–Ginzburg 滞留空间的高亏格 FJRW 理论中的霍奇积分提供系统化的计算方法。
• 将先前的亏格零结果推广至任意亏格，且无需共调场论的半单性假设。
• 建立 PV 虚拟类与霍奇丛上顶类的上积公式，以等变特征类表示。
• 实现对 $(W,G)$-自旋曲线模空间的 Chow 环中塔多洛吉关系的显式计算。
• 通过算法实现支持在可积层级（如双余维层级）中的应用。

提出的方法

• 该方法采用修改后的双周期复形与递归向量丛复形，以分析 FJRW 理论中的虚拟类。
• 利用递归复形的 K-理论消去性质，推导出特征类的极限公式。
• 关键公式将上积表示为等变陈类 $\mathfrak{c}_{t_j}(-R^\bullet\pi_*\mathcal{L}_j)$ 与 $\mathfrak{c}_{t_{N+1}}(\mathbb{E}^\vee)$ 乘积的极限，其中 $t_j^{a_j}t_{j+1} = 1$。
• 该方法依赖于双周期复形的非退化性以及霍奇丛解析中消去条件的成立。
• 推导过程使用 Guere (2015) 的定理 3.5 与定理 3.19，以等价 K-理论中的上同调差异。
• 结果通过将 K-理论表达式与虚拟类乘积匹配得到验证，从而证明了主公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不假设半单性的情况下，如何计算链多项式在高亏格 FJRW 理论中的霍奇积分？
• RQ2 在任意亏格下，Polishchuk–Vaintrob 虚拟类与霍奇丛上顶类的上积结构为何？
• RQ3 能否使用向量丛的递归复形推导出 FJRW 理论中该上积的通用公式？
• RQ4 所得表达式与 $(W,G)$-自旋曲线模空间 Chow 环中塔多洛吉关系有何关联？
• RQ5 该方法在多大程度上可计算可积层级方程（如双余维层级中的方程）？

主要发现

• 本文建立了上积 $c_{\mathrm{top}}(\mathbb{E}^\vee) \cdot c_{\mathrm{vir}}^{\mathrm{PV}}$ 的通用公式，表示为等变特征类的极限。
• 该公式适用于任意亏格与链多项式 $W$ 的任意对角对称群 $G$，且无需半单性假设。
• 该结果可通过基于 Chiodo 公式与 Mumford 公式的 MAPLE 程序实现霍奇积分的显式数值计算。
• 当霍奇丛的秩为零时，该公式退化为 Guere (2015) 的亏格零结果，作为特例成立。
• 在 $\epsilon = t^{-1} - 1$ 中的极限表达式产生洛朗级数，且负幂次项消失，意味着塔多洛吉关系 $C_m = 0$ 对所有 $m < 0$ 成立。
• 这些关系正在与 Pixton 的关系进行比较，提示其与模空间塔多洛吉关系存在深层联系。