[论文解读] Relations on Mbar_{g,n} via 3-spin structures

Rahul Pandharipande, Aaron Pixton+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用 24

一句话总结

该论文通过从3自旋结构构造的上同调场论（CohFT）证明了稳定曲线模空间 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上Pixton的塔陶罗格关系。通过将威滕的非半单3自旋类修改为具有由齐次性导出的消失性质的半单CohFT，作者应用Givental-Teleman分类，推导出威滕类的显式公式，并在上同调中建立完整的Pixton关系系统，从而作为特例证明了上同调中的Faber-Zagier猜想。

ABSTRACT

Witten's class on the moduli space of 3-spin curves defines a (non-semisimple) cohomological field theory. After a canonical modification, we construct an associated semisimple CohFT with a non-trivial vanishing property obtained from the homogeneity of Witten's class. Using the classification of semisimple CohFTs by Givental-Teleman, we derive two main results. The first is an explicit formula in the tautological ring of Mbar_{g,n} for Witten's class. The second, using the vanishing property, is the construction of relations in the tautological ring of Mbar_{g,n}. Pixton has previously conjectured a system of tautological relations on Mbar_{g,n} (which extends the established Faber-Zagier relations on M_g). Our 3-spin construction exactly yields Pixton's conjectured relations. As the classification of CohFTs is a topological result depending upon the Madsen-Weiss theorem (Mumford's conjecture), our construction proves relations in cohomology. The study of Witten's class and the associated tautological relations for r-spin curves via a parallel strategy will be taken up in a following paper.

研究动机与目标

• 在上同调环中证明Pixton在$\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$上猜想的塔陶罗格关系系统$\mathsf{P}$。
• 通过将关系限制在$\mathcal{M}_g$上，提供Faber-Zagier猜想的上同调证明。
• 通过利用威滕类的齐次性，从非半单3自旋CohFT出发，经由规范修改构造出一个半单CohFT。
• 在$r$-自旋理论背景下，以$r=3$为原型，建立Givental-Teleman分类的几何实现。

提出的方法

• 通过移动到相关Frobenius流形的半单点，从威滕的3自旋类构造一个修改后的CohFT。
• 利用威滕类的齐次性，推导出修改后CohFT中的非平凡消失性质。
• 应用半单CohFT的Givental-Teleman分类，获得威滕3自旋类在$\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$的塔陶罗格环中的显式公式。
• 利用消失性质推导出塔陶罗格环中的关系，证明其与Pixton猜想的关系$\mathsf{P}$一致。
• 通过低亏格和低度的显式计算验证关系，包括Getzler关系与Belorousski-Pandharipande关系。
• 利用稳定图分解和边界层态射$\xi_\Gamma$，将$\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$上的类表示为顶点上的乘积。

实验结果

研究问题

• RQ1 3自旋CohFT构造是否在$H^*(\overline{\mathcal{M}}_{g,n},\mathbb{Q})$中产生Pixton猜想的完整塔陶罗格关系系统$\mathsf{P}$？
• RQ2 Givental-Teleman分类是否可用于在塔陶罗格环中推导出威滕3自旋类的显式公式？
• RQ3 修改后CohFT的消失性质是否足以生成$\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$中所有已知的塔陶罗格关系？
• RQ4 当参数$\phi \to 0$时，$R$-矩阵和威滕类的行为如何变化？极限是否保持有限？
• RQ5 威滕类的公式能否提升至$r > 3$的$r$-自旋结构模空间$\overline{\mathcal{M}}^{1/r}_{g;a_1,\dots,a_n}$？

主要发现

• 修改后的3自旋CohFT在$\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$的塔陶罗格环中，通过Givental-Teleman分类导出了威滕3自旋类的显式公式。
• 修改后CohFT的消失性质恰好生成了Pixton猜想的关系系统$\mathsf{P}$，从而在上同调中证明了这些关系。
• 在$\overline{\mathcal{M}}_{0,4}$上，度数为2的关系被证明等价于$\kappa_1 = \psi_1 = \psi_2 = \psi_3 = \psi_4 = \delta_{[1,2|3,4]} = \delta_{[1,3|2,4]} = \delta_{[1,4|2,3]}$，确认了该系统在此情形下的完备性。
• Getzler关系与Belorousski-Pandharipande关系均作为所构造关系的特例被恢复，确认了它们在$\mathsf{P}$中的位置。
• 尽管存在发散项，当$\phi \to 0$时$R$-矩阵表达式的极限是有限的，这是由于高阶项通过塔陶罗格关系相互抵消所致。
• 由于边界层中存在可除性障碍，该构造无法推广至$r > 3$的$r$-自旋结构，甚至对于$r=2$，类也无法仅通过对偶图表示。