[논문 리뷰] Homological algebra in characteristic one

Alain Connes, Caterina Consani|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 07.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 특성 1에서 토포스 위의 층의 범주에 대한 호모로지 대수의 프레임워크를 개발하며, 보편 반체 𝔹 = {0,1} 위의 모듈러 범주를 원형으로 사용한다. 이는 코모나드 위의 아이レン버그-무어 범주가 준정확하고 호모로지적 범주임을 입증하고, 대각 사상의 코어널을 통해 비자명한 Ext 함자를 계산함으로써, 유한 객체에 대해서도 영이 아닌 코homology가 존재함을 보여준다.

ABSTRACT

This article develops several main results for a general theory of homological algebra in categories such as the category of sheaves of idempotent modules over a topos. In the analogy with the development of homological algebra for abelian categories the present paper should be viewed as the analogue of the development of homological algebra for abelian groups. Our selected prototype, the category Bmod of modules over the Boolean semifield B is the replacement for the category of abelian groups. We show that the semi-additive category Bmod fulfills analogues of the axioms AB1 and AB2 for abelian categories. By introducing a precise comonad on Bmod we obtain the conceptually related Kleisli and Eilenberg-Moore categories. The latter category Bmod^s is simply Bmod in the topos of sets endowed with an involution and as such it shares with Bmod most of its abstract categorical properties. The three main results of the paper are the following. First, when endowed with the natural ideal of null morphisms, the category Bmod^s is a semi-exact, homological category in the sense of M. Grandis. Second, there is a far reaching analogy between Bmod^s and the category of operators in Hilbert space, and in particular results relating null kernel and injectivity for morphisms. The third fundamental result is that, even for finite objects of Bmod^s the resulting homological algebra is non-trivial and gives rise to a computable Ext functor. We determine explicitly this functor in the case provided by the diagonal morphism of the Boolean semiring into its square.

연구 동기 및 목표

• 토포스 위의 ℝ_max-모듈러의 층과 같은 비아벨 범주에 대해 호모로지 도구가 필요한, 호모로지 대수의 프레임워크를 개발하는 것.
• 𝔹 = {0,1}일 때 𝔹-모듈러의 범주를 원형으로 사용하여 아벨 범주 호모로지 대수의 개념적 유사체를 수립하는 것.
• 코모나드 위의 𝔹-mod의 아이렌버그-무어 범주가 준정확하고 호모로지적 범주임을 보여주어, 호모로지 구조를 가능하게 하는 것.
• 유한한 경우에서 Ext 함자를 명시적으로 계산하여, 특성 1에서 비자명한 호모로지 대수가 존재함을 보여주는 것.

제안 방법

• 𝔹-모듈러의 범주 위에 코모나드를 도입하여, 클라이슬리 및 아이렌버그-무어 범주를 구성한다.
• 집합의 대칭을 갖는 토포스에서 𝔹-mod와 동치인 아이렌버그-무어 범주 𝔹-mod^𝔰를 정의함으로써 호모로지적 구조를 수립한다.
• 범주 𝔹-mod^𝔰에 자연스러운 영 사상의 이상을 부여하여, 핵, 코어널, 엄밀한 정확한 수열을 정의할 수 있도록 한다.
• 서브젝트 함자 이론을 적용하여 대각 사상 Δ: 𝔹 → 𝔹 × 𝔹의 코어널을 통해 Ext 함자를 계산한다.
• 대칭성과 갈루아 연결을 활용하여, 특히 자기 사상과 그 확장을 포함한 객체 및 사상의 구조를 분석한다.
• 표현 가능성과 콤마 범주를 사용하여 대각 사상의 코어널과 그에 유도된 자기 사상의 분석을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비아벨 범주인 토포스 위의 ℝ_max-모듈러의 층과 같은 범주에서 의미 있는 호모로지 대수 이론을 개발할 수 있는가?
• RQ2 특성 1에서 𝔹 = {0,1}일 때 𝔹-모듈러의 범주는 아벨 범주와 유사한 호모로지적 구조를 지닐 수 있는가?
• RQ3 유한 객체에 대해서도 𝔹-모듈러의 범주에서 Ext 함수가 비자명한가?
• RQ4 코모나드의 아이렌버그-무어 범주에서 대칭성과 대칭 변환의 역할은 무엇인가?
• RQ5 이 호모로지 프레임워크에서 영 사상과 핵-코어널 수열은 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• 영 사상의 이상을 부여한 아이렌버그-무어 범주 𝔹-mod^𝔰는 준정확하고 호모로지적 범주이다.
• 범주 𝔹-mod^𝔰는 힐버트 공간 위의 유계 연산자 범주와 깊은 유사성을 보이며, 특히 영 핵과 단사성의 행동에서 유사성을 띤다.
• Ext 함자는 비자명하고 명시적으로 계산 가능하다: 대각 사상 Δ: 𝔹 → 𝔹 × 𝔹에 대해, Ext 군은 특정 함자 F(α′′)의 코어널과 동형이다.
• 함자 F = Hom_{𝔹-mod^𝔰}(Q, −)의 서브젝트 함자 SF는 영이 아니며, SF(K)는 정확히 코어널 Coker(F(α′′))와 일치한다.
• 코어널 Coker(F(α′′))는 16개의 영 원소와 12개의 비영 원소를 가지며, F(α′′)의 상에 제한된 자기 사상의 유도된 작용은 영이다.
• 짧은 이중 정확한 수열 α의 자기 사상에 의해 코어널에 의해 유도된 변환은 총 28개이며, 그 중 16개는 영 원소로 향하는 영 변환이다.