[论文解读] Homological Projective Duality via Variation of Geometric Invariant Theory Quotients

Matthew R. Ballard, Dragos Deliu+3 more|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 41被引用 23

一句话总结

本文利用几何不变性理论（VGIT）商的变体，构建了朗道-金兹堡同调投影对偶的几何框架。它证明了伽辽华朗道-金兹堡模型 $[\operatorname{V}_S(\mathcal{P}) \times_S \mathbb{P}_S(S^d\mathcal{P}^*) / \mathbb{G}_m], w)$ 是对 Veronese 嵌入 $\mathbb{P}_S(\mathcal{P}) \to \mathbb{P}_S(S^d\mathcal{P})$ 的弱同调投影对偶，且完全线性截面的导出范畴通过半正交分解相互关联。

ABSTRACT

We provide a geometric approach to constructing Lefschetz collections and Landau-Ginzburg Homological Projective Duals from a variation of Geometric Invariant Theory quotients. This approach yields homological projective duals for Veronese embeddings in the setting of Landau Ginzburg models. Our results also extend to a relative Homological Projective Duality framework.

研究动机与目标

• 通过几何不变性理论技术将同调投影对偶性推广至朗道-金兹堡模型。
• 通过 VGIT 商的变体，实现 Lefschetz 收集与同调投影对偶的几何构造。
• 将 Kuznetsov 的 HPD 框架推广至光滑基流形上的相对情形。
• 在非交换与朗道-金兹堡模型的背景下，恢复并扩展已知的 Veronese 嵌入与格拉斯曼流形的结果。
• 通过半正交分解，建立 Veronese 嵌入及其对偶的线性截面的导出范畴之间的导出等价性。

提出的方法

• 利用几何不变性理论（VGIT）商的变体，对与超曲面相关的线丛全空间执行双有理变换。
• 应用 [BFK12] 中的半正交分解，在商簇上构造 Lefschetz 收集。
• 构造一个伽辽华朗道-金兹堡模型 $[\operatorname{V}_S(\mathcal{P}) \times_S \mathbb{P}_S(S^d\mathcal{P}^*) / \mathbb{G}_m], w)$，其中 $w$ 为通用的 $d$ 次多项式。
• 在 VGIT 中运用墙穿跃技术，关联不同的 GIT 商，并诱导半正交分解。
• 应用 Orlov 定理与导出范畴分解的相对版本，关联完全线性截面的导出范畴。
• 使用显式的 $A_\infty$-代数结构与树公式表示高阶乘积，特别是 $\mu^d(1 \otimes v_{i_1}, \dots, 1 \otimes v_{i_d}) = \frac{u}{d!} \frac{\partial^d w}{\partial x_{i_1} \cdots \partial x_{i_d}}$，以定义非交换对偶。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过几何不变性理论将同调投影对偶性推广至朗道-金兹堡模型？
• RQ2 如何通过 VGIT 系统性地构造 Veronese 型嵌入的 Lefschetz 收集与对偶？
• RQ3 在朗道-金兹堡设定下，Veronese 嵌入的线性截面与其对偶之间的导出范畴关系为何？
• RQ4 相对 HPD 框架在一般光滑基流形上在多大程度上成立？
• RQ5 通过 $A_\infty$-代数构造的非交换对偶能否恢复已知结果，例如 $d=2$ 时 Kuznetsov 的结果？

主要发现

• 伽辽华朗道-金兹堡模型 $[\operatorname{V}_S(\mathcal{P}) \times_S \mathbb{P}_S(S^d\mathcal{P}^*) / \mathbb{G}_m], w)$ 是对 Veronese 嵌入 $\mathbb{P}_S(\mathcal{P}) \to \mathbb{P}_S(S^d\mathcal{P})$ 的弱同调投影对偶。
• 该朗道-金兹堡模型的导出范畴 admits 一个对偶 Lefschetz 收集 $\langle \mathcal{B}_j(-j), \dots, \mathcal{B}_0 \rangle$。
• 对于完全线性截面 $\mathbb{P}_S(\mathcal{P}) \times_{\mathbb{P}_S(S^d\mathcal{P})} \mathbb{P}_S(\mathcal{W})$，当 $r < \lceil (\operatorname{rk}\mathcal{P} - d)/d \rceil - 1$ 时，其导出范畴可分解为包含对偶 LG 模型的半正交和。
• 当 $r \geq \lceil (\operatorname{rk}\mathcal{P} - d)/d \rceil - 1$ 时，该 LG 模型的导出范畴嵌入到线性截面的导出范畴中。
• 该构造恢复了 $d=2$ 时 Kuznetsov 的同调投影对偶，并将其推广至相对情形。
• 在 $\mathcal{A} = \bigoplus_{k \in \mathbb{Z}} u^k \mathcal{O}_{\mathbb{P}(S^d W^*)}(k) \otimes \Lambda^\bullet W^*$ 上，以 $\mu^d$ 由 $w$ 的高阶导数给出的 $A_\infty$-代数结构，提供了对偶空间的非交换解析。