[논문 리뷰] Homological stability and stable moduli of flat manifold bundles

Sam Nariman|arXiv (Cornell University)|2014. 06. 24.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 24인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 고차원 다양체 $\#_g S^n \times S^n \setminus \text{int}(D^{2n})$ 의 미분형식군이 이산 위상수학을 갖는 경우, $n > 2$ 일 때 그 군 호몰로지가 안정화됨을 증명한다. 안정 호몰로지는 Haefliger의 분할에 대한 분류공간과 관련된 무한 루프 공간의 호몰로지로 식별되며, 이는 큰 $g$ 에서 평탄한 $\text{W}_{g,1}$-_bundle에 대한 비자명한 일반화된 Mumford-Morita-Miller 클래스를 탐지한다.

ABSTRACT

We prove that group homology of the diffeomorphism group of $\#^g S^n imes S^n$ as a discrete group is independent of $g$ in a range, provided that $n>2$. This answers the high dimensional version of a question posed by Morita about surface diffeomorphism groups made discrete. The stable homology is isomorphic to the homology of a certain infinite loop space related to the Haefliger's classifying space of foliations. One geometric consequence of this description of the stable homology is a splitting theorem that implies certain classes called generalized Mumford-Morita-Miller classes can be detected on flat $(\#^g S^n imes S^n)$-bundles for $g$ large enough.

연구 동기 및 목표

• 이산 표면 미분형식군에 대한 Morita의 질문의 고차원 해석을 해결하기 위해.
• $n > 2$ 일 때 $\text{W}_{g,1} = \#_g S^n \times S^n \setminus \text{int}(D^{2n})$ 의 미분형식군의 군 호몰로지가 $g$ 에 따라 독립적이며, 안정 범위 내에서 안정화됨을 증명하기 위해.
• $\mathrm{BDiff}^\delta(\text{W}_{g,1}, \partial)$ 의 안정 호몰로지를 Haefliger의 분할에 대한 분류공간과 관련된 무한 루프 공간의 호몰로지로 식별하기 위해.
• 충분히 큰 $g$ 에서 일반화된 Mumford-Morita-Miller 클래스가 평탄한 $\text{W}_{g,1}$-bundle에서 탐지될 수 있음을 보여주기 위해.
• $2n+1$ 차수에서의 유리 호몰로지가 비가산 차원을 가지며, 이는 더 높은 차수에서 비자명한 안정 호몰로지를 암시함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 이식화 맵이 $\text{W}_{g,1}$ 을 $\text{W}_{g+1,1}$ 에 매립시키는 방식으로 유도되는 안정화 맵을 사용하여, $\mathrm{Diff}^\delta(\text{W}_{g,1}, \partial)$ 에 대해 Quillen의 안정성 기계를 적용하여 호몰로지 안정성을 증명하기 위해.
• 구성공간 위에서의 미분형식군의 작용을 분석하기 위해 $\mathrm{BDiff}^\delta(\text{W}_{g,1}, \partial)$ 의 단체 해상(Resolution)을 구성하기 위해.
• 평탄한 $\text{W}_{g,1}$-bundle의 분류공간을 모델링하기 위해 $\mathrm{B}\Gamma_{2n} \to \mathrm{BGL}_{2n}^+(\mathbb{R})$ 의 호모토피 피브어를 사용하기 위해.
• 호모토피 피브어 구축을 통해 안정 호몰로지를 $\mathrm{BGL}_{2n}^+(\mathbb{R})\langle n\rangle$, 즉 $\mathrm{BGL}_{2n}^+(\mathbb{R})$ 의 $n$-연결 덮개와 연결하기 위해.
• $\Omega^\infty \mathbb{MT}\nu^n$ 의 무한 루프 공간 구조를 활용하여 안정 분류공간의 유리 호몰로지를 분석하기 위해.
• 기존의 결과들인 $\mathrm{BDiff}(\text{W}_{g,1}, \partial)$ 와 $\overline{\mathrm{BDiff}_c(\mathbb{R}^{2n})}$ 를 바탕으로, 스펙트럴 시퀀스 기법(Serre 및 Halperin 유형)을 적용하여 $\mathrm{BDiff}^\delta(\text{W}_{g,1}, \partial)$ 의 낮은 차수의 유리 호몰로지 군을 계산하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $n > 2$ 일 때, $g$ 가 증가함에 따라 $\text{W}_{g,1}$ 의 이산 미분형식군의 군 호몰로지가 안정화되는가?
• RQ2 $\mathrm{BDiff}^\delta(\text{W}_{g,1}, \partial)$ 의 안정 호몰로지는 무엇이며, 알려진 무한 루프 공간과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 충분히 큰 $g$ 에서 일반화된 Mumford-Morita-Miller 클래스가 평탄한 $\text{W}_{g,1}$-bundle에서 탐지될 수 있는가?
• RQ4 $\mathrm{BDiff}^\delta(\text{W}_{g,1}, \partial)$ 의 $2n+1$ 차수에서의 유리 호몰로지의 차원은 얼마이며, 이는 안정 호몰로지에 대해 어떤 의미를 갖는가?
• RQ5 $\mathrm{BDiff}^\delta(\text{W}_{g,1}, \partial)$ 의 유리 호몰로지는 낮은 차수에서 어떻게 분해되며, 보편적 및 축소된 분류공간의 기여는 무엇인가?

주요 결과

• $n > 2$ 일 때, 안정화 맵 $H_k(\mathrm{BDiff}^\delta(\text{W}_{g,1}, \partial); \mathbb{Z}) \to H_k(\mathrm{BDiff}^\delta(\text{W}_{g+1,1}, \partial); \mathbb{Z})$ 는 $k < (g-2)/2$ 에서 동형이며, $k \leq (g-2)/2$ 에서는 전성이다.
• $\mathrm{BDiff}^\delta(\text{W}_{g,1}, \partial)$ 의 안정 호몰로지는 무한 루프 공간 $\Omega^\infty \mathbb{MT}\nu^n$ 의 호몰로지와 동형이며, 이는 $\mathrm{BS}\Gamma_{2n} \to \mathrm{BGL}_{2n}^+(\mathbb{R})$ 의 호모토피 피브어이다.
• $2n+1$ 차수에서의 유리 호몰로지는 $h_1 c_1^{2n}$ 에 대한 통합을 통한 평가 맵의 전성으로 인해 비가산 차원을 가진다.
• $g \geq 4n+4$ 일 때, $H_{2n+1}(\mathrm{BDiff}^\delta(\text{W}_{g,1}, \partial); \mathbb{Q}) \to \mathbb{R}$ 는 전성이며, 이는 비가산 개수의 독립된 클래스 존재를 확인한다.
• 낮은 차수에서 $H_1(\mathrm{BDiff}^\delta(\text{W}_{g,1}, \partial); \mathbb{Z}) \cong H_1(\mathrm{BDiff}(\text{W}_{g,1}, \partial); \mathbb{Z})$ 이며, $g \geq 9$ 이고 $n \geq 3$ 일 때 $H_1(\mathrm{BDiff}^\delta(\text{W}_{g,1}, \partial); \mathbb{Q}) = 0$ 이다.
• $g \geq 9$ 이고 $n \geq 3$ 일 때, $H_2(\mathrm{BDiff}^\delta(\text{W}_{g,1}, \partial); \mathbb{Q})$ 는 $H_2(\mathrm{BDiff}(\text{W}_{g,1}, \partial); \mathbb{Q}) \oplus H_2(\overline{\mathrm{BDiff}_c(\mathbb{R}^{2n})}; \mathbb{Q})$ 로 분해되며, $H_3(\mathrm{BDiff}^\delta(\text{W}_{g,1}, \partial); \mathbb{Q}) \cong H_3(\overline{\mathrm{BDiff}_c(\mathbb{R}^{2n})}; \mathbb{Q})$ 이다.