[논문 리뷰] Homology of pseudodifferential operators I. Manifolds with boundary

Richard Melrose, Victor Nistor|ArXiv.org|1996. 06. 21.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 20인용 수 100

한 줄 요약

이 논문은 경계를 가진 컴act 다양체 위의 캐스프 미분연산자 대수의 호크시ลด 및 순환 호몰로지(Hochschild and cyclic homology)를 계산하며, 지수 함수를 호크시ลด 1-코사이클로 해석한다. 이는 아티야-파타디-사이러스 지수 정리의 편미분 연장으로, 경계 위의 스텐디드 대수에서의 에타 불변량을 포함하고 있으며, 워즈키디의 잔여 추적(trace)과 외부 미분을 통해 지수를 표현한다.

ABSTRACT

The Hochschild and cyclic homology groups are computed for the algebra of `cusp' pseudodifferential operators on any compact manifold with boundary. The index functional for this algebra is interpreted as a Hochschild 1-cocycle and evaluated in terms of extensions of the trace functionals on the two natural ideals, corresponding to the two filtrations by interior order and vanishing degree at the boundary, together with the exterior derivations of the algebra. This leads to an index formula which is a pseudodifferential extension of that of Atiyah, Patodi and Singer for Dirac operators; together with a symbolic term it involves the `eta' invariant on the suspended algebra over the boundary previously introduced by the first author.

연구 동기 및 목표

• 경계를 가진 컴팩트 다각체 위의 캐스프 미분연산자 대수의 호크시ลด 및 순환 호몰로지 군을 계산하기.
• 지수 함수를 추적 함수형과 외부 미분에 기반한 호크시ลด 1-코사이클로 해석하기.
• 호몰로지 대수학을 사용하여 편미분 설정에서 아티야-파타디-사이러스 지수 정리를 일반화하기.
• 지수를 워즈키디의 잔여 추적, 외부 미분, 경계 위의 스텐디드 대수에서의 에타 불변량으로 표현하기.
• 지수 공식이 호크시ลด 호몰로지 장정확한 수열의 경계 사상과 연결되는 호몰로지 프레임워크 수립하기.

제안 방법

• 스펙트럴 시퀀스 추론을 통해 호크시ลด 호몰로지를 코구면(bundle) 곱하기 원환위의 드 라무 코homology와 동일시하기.
• Tr_R를 Tr(AQ^{-z})의 메로모르픽 연장에서 z=0에서의 잔여로 정의한다.
• log Q와의 커mutator를 통한 유도자 D_log Q를 정의하고, 호크시ลด 코호몰로지에 사상 i_log Q를 유도한다.
• 지수 함수 IF(A,B)를 스무딩 연산자 위의 추적의 경계 사상 이미지로 표현하여, IF(A,B) = Tr_R(A[log Q,B])를 도출한다.
• 호크시ลด 호몰로지의 장정확한 수열을 적용하여 지수 함수를 기호 대수와 이상 사이에 연결한다.
• 메로모르픽 연장과 밀도와의 쌍형을 사용하여 경계 근처의 정규 분포의 행동을 분석하며, 특히 캐스프 계산 프레임워크 내에서 다루기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경계를 가진 다각체 위의 캐스프 미분연산자에 대한 호크시ลด 및 순환 호몰로지는 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ2 지수 함수의 호몰로지적 해석은 호크시ลด 코사이클과 경계 사상에 기반하여 어떻게 이루어지는가?
• RQ3 캐스프 연산자에 대한 지수 공식은 편미분 설정에서 아티야-파타디-사이러스 정리의 어떻게 확장되는가?
• RQ4 경계 위의 스텐디드 대수에서의 에타 불변량은 지수 공식에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 내부 차수와 경계에서의 소멸 차수에 따른 필터링은 대수의 구조와 그 호몰로지에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 호크시ลด 호몰로지 군 HH_k(A)는 코구면(bundle) S^*X와 S^σ의 곱의 드 라무 코homology 군 H^{2n-k}(S^*X × S^σ)와 동형이다.
• 지수 함수 IF는 호크시ลด 1-코사이클이며, 스무딩 연산자 이상 위의 추적의 경계 사상 이미지로 표현된다.
• 지수 공식은 워즈키디의 잔여 추적을 포함하는 기호 항과 경계 위의 스텐디드 대수에서의 에타 불변량을 포함하는 항을 포함한다.
• 유도자 i_log Q는 H^1(S^σ)의 생성자와의 컵곱에 해당하며, 지수 함수를 심플렉틱 구조와 연결한다.
• 스무딩 연산자 이상은 H-유니탈이며, 이는 호크시ลด 호몰로지의 장정확한 수열이 잘 정의되어 경계 사상 구축이 가능함을 보장한다.
• 캐스프 계산은 t = e^{-1/x}를 통한 경계의 초월적 블로업에서 유래하며, b-미분연산자는 이 변환 하에서 캐스프 연산자로 올라간다.