[论文解读] Homomorphism counts in robustly sparse graphs

Chun‐Hung Liu|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2021

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 70被引用 6

一句话总结

本文建立了一个关于鲁棒稀疏图中同态计数的一般定理，证明了在具有有界扩张性的遗传图类上，若满足温和条件，则从固定图 $H$ 到该类中图的同态数量，其下界估计值与真实值仅相差一个常数因子。该结果确定了此类图类中同态、子图及诱导子图计数的渐近增长速率，包括在无处稠密类中的精确对数密度，以及在 $d$-退化图中的最大子图计数。

ABSTRACT

For a fixed graph $H$ and for arbitrarily large host graphs $G$, the number of homomorphisms from $H$ to $G$ and the number of subgraphs isomorphic to $H$ contained in $G$ have been extensively studied in extremal graph theory and graph limits theory when the host graphs are allowed to be dense. This paper addresses the case when the host graphs are robustly sparse and proves a general theorem that solves a number of open questions proposed since 1990s and strengthens a number of results in the literature. We prove that for any graph $H$ and any set ${\mathcal H}$ of homomorphisms from $H$ to members of a hereditary class ${\mathcal G}$ of graphs, if ${\mathcal H}$ satisfies a natural and mild condition, and contracting disjoint subgraphs of radius $O(\lvert V(H) vert)$ in members of ${\mathcal G}$ cannot create a graph with large edge-density, then an obvious lower bound for the size of ${\mathcal H}$ gives a good estimation for the size of ${\mathcal H}$. This result determines the maximum number of $H$-homomorphisms, the maximum number of $H$-subgraphs, and the maximum number $H$-induced subgraphs in graphs in any hereditary class with bounded expansion up to a constant factor; it also determines the exact value of the asymptotic logarithmic density for $H$-homomorphisms, $H$-subgraphs and $H$-induced subgraphs in graphs in any hereditary nowhere dense class. Hereditary classes with bounded expansion include (topological) minor-closed families and many classes of graphs with certain geometric properties; nowhere dense classes are the most general sparse classes in sparsity theory. Our machinery also allows us to determine the maximum number of $H$-subgraphs in the class of all $d$-degenerate graphs with any fixed $d$.

研究动机与目标

• 解决自1990年代以来关于稀疏图类中同态与子图计数的长期悬而未决问题。
• 确定在具有有界扩张性的遗传类中，同态密度 ${\rm hom}(H,G)/|V(G)|^k$ 的正确归一化指数 $k$，其中 $G$ 属于该类。
• 刻画在具有有界扩张性的遗传类以及无处稠密类中，$H$-同态、$H$-子图和 $H$-诱导子图的最大数量。
• 将理论扩展至 $d$-退化图和几何图类（如 $\mathbb{R}^d$ 中 $k$-重邻域系统的交集图）。

提出的方法

• 引入了从固定图 $H$ 到遗传类 $\mathcal{G}$ 中图的同态集合的一个条件，要求将半径为 $O(|V(H)|)$ 的不相交子图收缩后不会产生高边密度。
• 使用强亚线性平衡分隔符的概念来刻画具有有界扩张性的图类，将结构稀疏性与计数行为联系起来。
• 应用图子式理论与分隔符定理，包括 Alon、Seymour 和 Thomas 的结果，以及 Dvořák 和 Norin 关于有界扩张性和亚线性分隔符的研究。
• 采用类似旗代数的推理与渐近分析，推导出同态与子图计数的紧致上界（仅相差常数因子）。
• 将问题约化为分析 $H$ 中 $\mathcal{G}$-可复制的独立分隔集合，该集合决定了渐近增长中的指数 $k$。
• 将该方法应用于推导无处稠密类中同态与子图的精确渐近对数密度。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于遗传类中的稀疏图 $G$，使得 $\mathrm{hom}(H,G)/|V(G)|^k$ 有意义且非零的正确归一化指数 $k$ 是什么？
• RQ2 如何在常数因子范围内渐近地界定稀疏图类中 $H$-子图与 $H$-同态的数量？
• RQ3 在无处稠密图类中，$H$-同态与 $H$-子图的精确渐近对数密度是多少？
• RQ4 能否在常数因子范围内确定 $d$-退化图中 $H$-子图的最大数量？
• RQ5 图 $H$ 的哪些结构特性决定了同态计数在稀疏图类中的增长速率？

主要发现

• 对于任意固定图 $H$ 和具有有界扩张性的遗传类 $\mathcal{G}$，$\mathcal{G}$ 中 $n$-顶点图的 $H$-同态数量为 $\Theta(n^k)$，其中 $k$ 由 $H$ 的 $\mathcal{G}$-可复制独立分隔集合的最大大小决定。
• 在无处稠密类中，$H$-同态、$H$-子图及 $H$-诱导子图的渐近对数密度被精确确定。
• $d$-退化图中 $H$-子图的最大数量为 $\Theta(n^k)$，其中 $k$ 与有界扩张类中的分隔参数相同。
• 该结果适用于所有具有有界扩张性的遗传类，包括子图封闭族、拓扑子图封闭族，以及 $\mathbb{R}^d$ 中 $k$-重邻域系统的交集图。
• 该理论为稀疏图中同态与子图密度提供了一般化的归一化框架，解决了图极限理论在稀疏情形下的一个关键问题。
• 在 $\Theta$-界中的隐含常数未被优化，但渐近增长速率已精确确定至常数因子。