[论文解读] Generalized rainbow Tur\'an problems

Dániel Gerbner, Tamás Mészáros+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2019

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 29被引用 8

一句话总结

本文引入并研究了广义彩虹Turán问题：在不包含$F$的彩虹子图的前提下，确定在适当边着色的$n$-顶点图中$F$的副本的最大数量。作者为路径、奇圈和树建立了紧致界，表明大多数树的副本数量呈多项式增长，而星形和双星等特定例外情况则呈线性增长，从而将经典Turán理论扩展到具有边着色约束的彩虹设定中。

ABSTRACT

Alon and Shikhelman initiated the systematic study of the following generalized Tur\\'an problem: for fixed graphs $H$ and $F$ and an integer $n$, what is the maximum number of copies of $H$ in an $n$-vertex $F$-free graph? An edge-colored graph is called rainbow if all its edges have different colors. The rainbow Tur\\'an number of $F$ is defined as the maximum number of edges in a properly edge-colored graph on $n$ vertices with no rainbow copy of $F$. The study of rainbow Tur\\'an problems was initiated by Keevash, Mubayi, Sudakov and Verstra\\"ete. Motivated by the above problems, we study the following problem: What is the maximum number of copies of $F$ in a properly edge-colored graph on $n$ vertices without a rainbow copy of $F$? We establish several results, including when $F$ is a path, cycle or tree.

研究动机与目标

• 通过研究在避免彩虹$F$的适当边着色$n$-顶点图中$F$的副本最大数量，将经典Turán理论扩展到彩虹设定。
• 确定该极值函数在各种图族（包括路径、圈和树）中的渐近阶的大小。
• 识别限制$F$的无彩虹副本数量的结构和着色约束，特别关注星形和树形图。
• 探索极值组合学中图结构与边着色之间的相互作用，特别是在禁止彩虹子图的背景下。

提出的方法

• 作者将广义彩虹Turán数$\operatorname{ex}(n,F,\textup{rainbow-}F)$定义为在不包含$F$的彩虹子图的适当边着色$n$-顶点图中$F$的副本的最大数量。
• 他们使用极值图论技术，包括度数界限和计数论证，推导出$F$副本数量的上界。
• 对于由星形组成的图，他们证明高阶顶点必须包含在所有$F$的副本中，从而得出$O(n^2)$个副本的界。
• 他们应用已知的彩虹Turán数和广义Turán数结果，结合$F$的结构分析，推导出渐近估计。
• 他们通过分情况讨论和极值构造，分析了特定图类型——路径、奇圈、偶圈和树。
• 他们证明，对于除星形和双星外的树，副本数量的增长速度快于线性，而对$T_p$（一个三角形在某一顶点上附加$p$片叶子）等特定构型，其增长仍为线性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当$F$为路径时，$\operatorname{ex}(n,F,\textup{rainbow-}F)$的渐近阶的大小是多少？
• RQ2 在不包含彩虹子图的适当边着色$n$-顶点图中，奇圈$C_{2k+1}$的副本数量如何增长？
• RQ3 在彩虹-$F$-自由图中，偶圈$C_{2k}$的副本数量最大是多少，与经典Turán数相比如何？
• RQ4 对于哪些树$T$，$\operatorname{ex}(n,T,\textup{rainbow-}T)$呈线性增长，对于哪些树则增长更快？
• RQ5 当$H \neq F$时，能否有意义地研究函数$\operatorname{ex}(n,H,\textup{rainbow-}F)$，并会涌现出何种结构约束？

主要发现

• 对于路径$P_k$，在彩虹-$P_k$-自由图中$P_k$的副本数量介于$\Omega(n)$和$O(n)$之间，表明其呈线性增长。
• 对于奇圈$C_{2k+1}$，在彩虹-$C_{2k+1}$-自由图中$C_{2k+1}$的副本数量为$\Theta(n^{3/2})$，与已知的广义Turán结果一致。
• 对于偶圈$C_6$，在彩虹-$C_6$-自由图中$C_6$的副本数量为$O(n^{4/3})$，与已知的彩虹Turán界限一致。
• 对于除星形和双星外的树，$\operatorname{ex}(n,T,\textup{rainbow-}T)$的增长速度快于线性，表明与无彩虹情形相比，极值结构有显著增强。
• 对于图$T_p$（一个三角形在某一顶点上附加$p$片叶子），有$\operatorname{ex}(n,T_p,\textup{rainbow-}T_p) = O(n)$，表明结构对称性可能限制增长。
• 对于包含$k > 1$条边的匹配$M_k$，有$\operatorname{ex}(n,M_k,\textup{rainbow-}M_k) = \Theta(n^k)$，表明当边被仔细着色时，彩虹约束不会限制匹配数量。