[논문 리뷰] Homomorphisms of abelian varieties

Yuri G. Zarhin|ArXiv.org|2004. 06. 14.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 29인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 아벨 다양체의 내적 대수의 중심이 체가 되는 조건을 규명하며, 소수 순서의 점들에 대한 갈루아 작용이 충분히 크면 내적 대수가 ℚ 위의 중심 단순 대수가 됨을 증명한다. 핵심 결과는 내적 대수에서 CM형 체의 중심화환의 차원이 가능한 한 최대일 때, 아벨 다양체가 절대적으로 단순한 CM형 아벨 다양체의 자기곱과 등주임을 보여준다.

ABSTRACT

We discuss Galois properties of points of prime order on an abelian variety that imply the simplicity of its endomorphism algebra. Applications to hyperelliptic jacobians are given. In particular, we improve some of our earlier results.

연구 동기 및 목표

• 아벨 다양체의 내적 대수 중심이 체가 되는 조건을 규명하는 것.
• ℓ-탄성점에서의 갈루아 표현이 내적 대수의 구조와 어떻게 연결되는지 밝히는 것.
• 아벨 다양체가 절대적으로 단순한 아벨 다양체의 자기곱과 등주임을 보장하는 기준을 설정하는 것.
• 복소 곱승(CM)이 내적 대수의 구조를 결정하는 데서 수행하는 역할을 조사하는 것.
• 최대 중심화환 차원이 CM형 구조와 단순 아벨 다양체의 자기곱과의 등주성으로 이어짐을 증명하는 것.

제안 방법

• 소수 ℓ ≠ char(K)에 대해 ℓ-탄성 부분군 $X_\ell$ 에 대한 갈루아 작용을 분석하며, $\mathrm{GL}_{2\dim(X)}(\mathbb{F}_\ell)$ 내의 이미지 $\tilde{G}_{\ell,X,K}$ 를 사용한다.
• 갈루아 이미지가 $X_\ell$ 에서 기약으로 작용하면 $\mathrm{End}^0(X)$ 가 ℚ 위의 중심 단순 대수가 됨을 이용한다.
• ℓ-탄성점의 정의 체들이 선형적으로 분리되어 있음을 이용해, 등주하지 않은 아벨 다양체들 사이에 $\mathrm{Hom}(X,Y) = 0$ 이 성립함을 보인다.
• X 가 $Z^d$ 와 등주일 때 $\mathrm{End}^0(X) \cong \mathrm{M}_d(\mathrm{End}^0(Z))$ 인 등장관계를 활용하며, 내적 대수의 중심을 유지한다.
• 앨버트의 분류와 화이톤–테이트 이론을 적용하여 양의 특성에서의 나눗셈 대수와 초특이 아벨 다양체를 분류한다.
• 차원 수세기와 체의 매장 기법을 사용하여, 최대 중심화환 차원이 $X$ 가 절대적으로 단순한 CM형 아벨 다양체의 자기곱과 등주임을 강제함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ℓ-탄성점에 대한 갈루아 이론적 조건이 $\mathrm{End}^0(X)$ 의 중심이 체가 되는가?
• RQ2 두 아벨 다양체 $X$ 와 $Y$ 의 ℓ-탄성점 정의 체들이 선형적으로 분리되어 있을 때, 왜 $\mathrm{Hom}(X,Y) = 0$ 이 성립하는가?
• RQ3 내적 대수 $\mathrm{End}^0(X)$ 에서 CM형 체 $E$ 의 중심화환이 최대일 때, $X$ 가 절대적으로 단순한 아벨 다양체의 자기곱과 등주임을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 내적 대수에 차수 $2\dim(X)$ 인 체 $E$ 가 포함되어 있을 때, 아벨 다양체가 CM형임을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 기저 체의 특성이 $E$ 가 CM 부분체를 포함하지 않을 경우, $\mathrm{End}^0(X)$ 의 구조에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 만약 $X_\ell$ 에 대한 갈루아 이미지가 기약으로 작용하면, $\mathrm{End}^0(X)$ 는 ℚ 위의 중심 단순 대수가 되며, 그 중심은 체가 된다.
• 두 아벨 다양체 $X$ 와 $Y$ 의 ℓ-탄성점 정의 체들이 선형적으로 분리되어 있고 갈루아 이미지가 기약으로 작용하면, $\mathrm{Hom}(X,Y) = 0$ 이다.
• 아벨 다양체 $X$ 가 체 $E$ 에 의해 복소 곱승을 가지며, $\mathrm{End}^0(X)$ 에서 $E$ 의 중심화환 차원이 $\left(\frac{2\dim(X)}{[E:\mathbb{Q}]}\right)^2$ 일 때, $X$ 는 절대적으로 단순한 아벨 다양체의 자기곱과 등주이다.
• 특성 0 에서, $\mathrm{End}^0(X)$ 가 차수 $2\dim(X)$ 인 체 $E$ 를 포함하면, $E$ 는 CM체를 포함하고 $X$ 는 CM형이다.
• 양의 특성에서, $E$ 가 CM 부분체를 포함하지 않으면 $X$ 는 초특이여야 하며, 초특이 타원곡선의 거듭제곱과 등주이다.
• $\dim_E(\mathrm{End}^0(X,i)) = \left(\frac{2\dim(X)}{[E:\mathbb{Q}]}\right)^2$ 이 성립하는 것은 $X$ 가 단일 절대적으로 단순한 아벨 다양체의 자기곱과 등주임과 동치이다.