[논문 리뷰] Homotopy dimension of orbits of Morse functions on surfaces

Sergiy Maksymenko|arXiv (Cornell University)|2007. 10. 24.

Topological and Geometric Data Analysis참고 문헌 2인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 컴acts한 표면 $M$ 위의 모어스 함수 $f:M\to P$ (여기서 $P = \mathbb{R}$ 또는 $S^1$)의 궤도 $Ω_f(f)$가 내부 $\mathrm{Int}\,M$의 $n$-번째 구성공간의 커버링 공간과 호모토피 동치임을 증명한다. 여기서 $n$은 임계점의 수이다. 이는 궤도의 (코-)homology가 $2n-1$ 이상의 차원에서 0이 됨을 의미하며, 기본군이 $n$-번째 브레인드 군 $\mathcal{B}_n(M)$에 임베딩됨을 보여주며, 이는 그 호모토피 차원에 대한 날카운 상계를 제공한다.

ABSTRACT

Let $f$ be a real- or circle-valued Morse function on a compact surface M having exactly $n>0$ critical points. Denote by $O$ the orbit of $f$ with respect to the right action of the group of diffeomorphisms of $M$. We show that the connected components of $O$ have the homotopy type of a finite-dimensional CW-complex. Actually, these connected components are homotopy equivalent to a certain covering space of the $n$-th configuration space of the interior of $M$. As a consequence we obtain that the fundamental group of $O$ is a subgroup of the $n$-th braid group of $M$.

연구 동기 및 목표

• 모어스 함수 $f:M\to P$ 가 식별 성분의 미분구조군에 의해 작용할 때 궤도 $\mathcal{O}_f(f)$ 의 호모토피 유형을 규명하는 것.
• 특히 임계점의 수에 따라 이러한 궤도의 호모토피 차원에 대한 날카운 상계를 확립하는 것.
• 궤도의 기본군을 브레인드 군 $\mathcal{B}_n(M)$ 과 연관지켜, 궤도를 구성공간 $\mathcal{F}_n(\mathrm{Int}\,M)$ 의 커버링 공간으로 묘사하는 것.

제안 방법

• 궤도 $\mathcal{O}_f(f)$ 를 $\mathcal{D}_{\mathrm{id}}(M)$ 가 작용하는 하에 $f$ 를 포함하는 경로 성분으로 정의한다. 작용은 $h \cdot f = f \circ h^{-1}$ 로 주어진다.
• 각 함수가 임계점을 집합으로 보내는 사상 $k: \mathcal{O}_f(f) \to \mathcal{F}_n(\mathrm{Int}\,M)$ 을 정의하는 피브레이션을 구성한다.
• 이 피브레이션이 국소적으로 평탄한 피브레이션임을 증명하고, 그 섬유는 임계점 집합의 안정자군에 의한 궤도인 $\mathcal{O}_f(f, \Sigma_f)$ 임을 보인다.
• 이전 결과로부터 $\mathcal{O}_f(f, \Sigma_f)$ 가 수축 가능하다는 사실을 이용해, $k$ 가 $\pi_1$ 에 대해 단사임과 동시에 $i \geq 2$ 에 대해 $\pi_i$ 에서 동형사상을 유도함을 증명한다.
• 이를 통해 $k$ 를 $\mathcal{F}_n(\mathrm{Int}\,M)$ 의 $\pi_1(\mathcal{O}_f(f))$ 의 상에 대응하는 커버링 공간 $\mathcal{F}(f)$ 로 끌어올려, $\mathcal{O}_f(f)$ 와의 호모토피 동치를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 미분구조군의 등속 변형 하에서 컴팩트 표면 위의 모어스 함수의 궤도 $\mathcal{O}_f(f)$ 의 호모토피 유형은 무엇인가?
• RQ2 임계점의 수 $n$ 이 궤도 $\mathcal{O}_f(f)$ 의 호모토피 차원을 어떻게 제한하는가?
• RQ3 $\mathcal{O}_f(f)$ 는 $\mathrm{Int}\,M$ 의 점들의 구성공간의 커버링 공간으로 실현될 수 있는가?
• RQ4 $\pi_1(\mathcal{O}_f(f))$ 와 브레인드 군 $\mathcal{B}_n(M)$ 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 궤도 $\mathcal{O}_f(f)$ 는 임계점의 수 $n$ 에 대해 $n$-번째 구성공간 $\mathcal{F}_n(\mathrm{Int}\,M)$ 의 커버링 공간 $\mathcal{F}(f)$ 와 호모토피 동치이다.
• 이에 따라, $\mathcal{O}_f(f)$ 의 (코-)homology 는 $2n-1$ 이상의 차원에서 0이 되며, 따라서 $\mathrm{h.d.}\, \mathcal{O}_f(f) \leq 2n-1$ 이다.
• $\pi_1(\mathcal{O}_f(f))$ 는 $n$-번째 브레인드 군 $\mathcal{B}_n(M)$ 의 부분군과 동형이다.
• 피브레이션 $k: \mathcal{O}_f(f) \to \mathcal{F}_n(\mathrm{Int}\,M)$ 은 $\pi_1$ 에 대해 단사이며, $i \geq 2$ 에 대해 $\pi_i$ 에서 동형사상을 유도하므로, 커버링 공간과의 호모토피 동치를 가능하게 한다.
• 커버링 사상 $\mathcal{F}(f) \to \mathcal{F}_n(\mathrm{Int}\,M)$ 이 반드시 정규적이지는 않기 때문에, $\pi_1(\mathcal{O}_f(f))$ 가 $\mathcal{B}_n(M)$ 의 정규 부분군일 필요는 없다.
• 일반적인 모어스 사상(서로 다른 임계값)의 경우 궤도 $\mathcal{O}_f(f)$ 는 수축 가능하거나 토러스 또는 $\mathbb{R}P^3 \times T^k$ 와 호모토피 동치이지만, 일반 결과는 일반성의 유무에 관계없이 성립한다.