[논문 리뷰] Homotopy fixed points for L_K(n)(E_n ^ X) using the continuous action

Daniel G. Davis|ArXiv.org|2005. 01. 26.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 26인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 닫힌 부분군 $G \leq G_n$에 대해 $E_n \wedge X$의 $K(n)$-로컬라이제이션에 연속적인 $G$-작용이 존재함을 증명하고, 그 호모토피 고정점의 호모토피군을 계산하는 내림내림 스펙트럴 시퀀스를 구축한다. 핵심 결과는 $j \geq 1$일 때 $G_n$에 의한 $\hat{L}(E_n^{(j+1)})$의 호모토피 고정점이 $\hat{L}(E_n^{(j)})$와 동형임을 보여주며, 이는 $K(n)$-로컬 스펙트럼과 연속적 군 코hom로지 사이의 구조적 연결 고리를 제공한다.

ABSTRACT

Let G be a closed subgroup of G_n, the extended Morava stabilizer group. Let E_n be the Lubin-Tate spectrum, let X be an arbitrary spectrum with trivial G-action, and define E^(X) to be L_K(n)(E_n ^ X). We prove that E^(X) is a continuous G-spectrum with a G-homotopy fixed point spectrum, defined with respect to the continuous action. Also, we construct a descent spectral sequence whose abutment is the homotopy groups of the G-homotopy fixed point spectrum of E^(X). We show that the homotopy fixed points of E^(X) come from the K(n)-localization of the homotopy fixed points of the spectrum (F_n ^ X).

연구 동기 및 목표

• 닫힌 부분군 $G \leq G_n$에 대해 $\hat{L}(E_n \wedge X)$에 연속적인 $G$-작용이 존재함을 이용하여 호모토피 고정점 스펙트럼 $(\hat{L}(E_n \wedge X))^{hG}$를 정의하고 연구하는 것.
• 호모토피 고정점의 호모토피군 $\pi_*( (\hat{L}(E_n \wedge X))^{hG} )$를 수렴하는 내림내림 스펙트럴 시퀀스를 구축하는 것.
• $\hat{L}(E_n \wedge X)$의 호모토피 고정점은 $F_n \wedge X$의 호모토피 고정점의 $K(n)$-로컬라이제이션으로 유도됨을 보여주는 것.
• $\hat{L}(E_n \wedge X)^{hG}$에 대한 스펙트럴 시퀀스와 $K(n)$-로컬 $E_n$-아담스 스펙트럴 시퀀스 사이의 비교를 수립하는 것.
• $j \geq 1$일 때 $\pi_*( (\hat{L}(E_n^{(j+1)}) )^{hG_n} )$를 계산하고, 이가 $\pi_*( \hat{L}(E_n^{(j)}) )$와 동형임을 보이는 것.

제안 방법

• $\hat{L}(E_n \wedge X)$가 프레브레브한 이산 $G_n$-스펙트럼의 호모토피 극한으로서의 구조를 통해 연속적인 $G_n$-스펙트럼임을 보임.
• $G$가 $\hat{L}(E_n \wedge X)$에 연속적으로 작용함을 이용하여 호모토피 고정점 스펙트럼 $(\hat{L}(E_n \wedge X))^{hG}$를 정의함.
• $E_2$-항이 $E_2^{s,t} = \pi^s \pi_t( \mathrm{holim}_I (\Gamma^\bullet_G(F_n \wedge M_I \wedge X)_{f,G})^G )$인 내림내림 스펙트럴 시퀀스를 구성하며, 이는 $\pi_*( (\hat{L}(E_n \wedge X))^{hG} )$로 조건부 수렴함.
• $E_n$-미타그레플러 스펙트럼 $X$에 대해 $E_2$-항은 연속 코호몰로지로 단순화됨: $E_2^{s,t} \cong H^s_{\mathrm{cts}}(G; \pi_t(\hat{L}(E_n \wedge X)))$.
• 스펙트럴 시퀀스를 사용하여 $\pi_*( (\hat{L}(E_n^{(j+1)}) )^{hG_n} )$를 계산하며, 등식 $\pi_t(\hat{L}(E_n^{(j+1)})) \cong \mathrm{Map}_c^\ell(G_n^j, \pi_t(E_n))$를 활용함.
• $s > 0$에 대해 연속 코호몰로지 $H^s_{\mathrm{cts}}(G_n; \cdots)$의 영향을 고려하여, 안정 범주에서 $\hat{L}(E_n^{(j+1)})^{hG_n} \simeq \hat{L}(E_n^{(j)})$임을 유도함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 만약 $G$가 $E_n$에 연속적으로 작용한다면, $L_{K(n)}(E_n \wedge X)$의 호모토피 고정점은 어떻게 정의되고 계산될 수 있는가?
• RQ2 $\pi_*( (\hat{L}(E_n \wedge X))^{hG} )$에 대한 내림내림 스펙트럴 시퀀스의 구조는 어떠한가?
• RQ3 연속적인 $G_n$-작용이 $\hat{L}(E_n \wedge X)$에 대해 $F_n \wedge X$의 호모토피 고정점과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 $\hat{L}(E_n \wedge X)^{hG}$에 대한 스펙트럴 시퀀스는 $K(n)$-로컬 $E_n$-아담스 스펙트럴 시퀀스와 비교할 수 있는가?
• RQ5 $j \geq 1$일 때 $\hat{L}(E_n^{(j+1)})^{hG_n}$의 호모토피 유형은 어떠한가?

주요 결과

• $G_n$의 닫힌 부분군 $G \leq G_n$에 대해 $K(n)$-로컬 스펙트럼 $\hat{L}(E_n \wedge X)$가 연속적인 $G$-스펙트럼임을 보였다.
• 내림내림 스펙트럴 시퀀스의 $E_2$-항이 $E_2^{s,t} = \pi^s \pi_t( \mathrm{holim}_I (\Gamma^\bullet_G(F_n \wedge M_I \wedge X)_{f,G})^G )$인 것으로 구성되었으며, 이는 $\pi_*( (\hat{L}(E_n \wedge X))^{hG} )$로 조건부 수렴한다.
• $E_n$-미타그레플러 스펙트럼 $X$에 대해 $E_2$-항은 연속 코호몰로지로 단순화됨: $E_2^{s,t} \cong H^s_{\mathrm{cts}}(G; \pi_t(\hat{L}(E_n \wedge X)))$.
• $X$가 유한할 경우 스펙트럴 시퀀스는 $H^s_c(G; \pi_t(E_n \wedge X)) \Rightarrow \pi_{t-s}((\hat{L}(E_n \wedge X))^{hG})$ 형태를 가진다.
• $j \geq 1$일 때 스펙트럴 시퀀스 계산을 통해 $\pi_*( (\hat{L}(E_n^{(j+1)}) )^{hG_n} ) \cong \pi_*( \hat{L}(E_n^{(j)}) )$임을 아벨 군으로서 보였다.
• 따라서 $j \geq 1$일 때 안정 범주에서 $\hat{L}(E_n^{(j+1)})^{hG_n} \simeq \hat{L}(E_n^{(j)})$임을 유추할 수 있다.