[논문 리뷰] Homotopy homomorphisms and the classifying space functor

R. M. Vogt|arXiv (Cornell University)|2012. 03. 22.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 14인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 기저 매핑의 호모토피 동치에 관하여 국소화된 위상 수반 모노이드의 범주와 기저를 가진 공간의 범주에서, 기저 매핑의 호모토피 동치에 관하여 국소화된 후, 분류 공간 함자 $B: \mathcal{M}on \to \mathcal{T}\!op^*$가 모어 루프 공간 함자 $\Omega'$의 좌측 수반임을 확립한다. 핵심 결과는 잘 점착된 모노이드와 잘 점착된 공간 사이의 호모토피 상수 수반 관계이며, 이는 다이어그램으로 올라가며, $B$가 자연 호모토피 동치에 관하여 호모토피 코일리미트를 보존함을 의미한다.

ABSTRACT

We show that the classifying space functor $B: Mon o Top*$ from the category of topological monoids to the category of based spaces is left adjoint to the Moore loop space functor $Ω': Top* o Mon$ after we have localized $Mon$ with respect to all homomorphisms whose underlying maps are homotopy equivalences and $Top*$ with respect to all based maps which are (not necessarily based) homotopy equivalences. It is well-known that this localization of $Top*$ exists, and we show that the localization of $Mon$ is the category of monoids and homotopy classes of homotopy homomorphisms. To make this statement precise we have to modify the classical definition of a homotopy homomorphism, and we discuss the necessary changes. The adjunction is induced by an adjunction up to homotopy between the category of well-pointed monoids and homotopy homomorphisms and the category of well-pointed spaces. This adjunction is shown to lift to diagrams. As a consequence, the well-known derived adjunction between the homotopy colimit and the constant diagram functor can also be seen to be induced by an adjuction up to homotopy before taking homotopy classes. As applications we among other things deduce a more algebraic version of the group completion theorem and show that the classifying space functor preserves homotopy colimits up to natural homotopy equivalences.

연구 동기 및 목표

• 기저 매핑의 호모토피 동치에 관하여 국소화된 위상 수반 모노이드의 범주와 기저를 가진 공간의 범주에서, 분류 공간 함자 $B$와 모어 루프 공간 함자 $\Omega'$ 간의 호모토피 수반 관계를 확립하는 것.
• 기본 설정에서 $\Omega'$가 곱을 보존하지 못하는 문제를 해결하기 위해, 두 범주를 호모토피 동치에 관하여 국소화하는 것.
• 국소화된 위상 수반 모노이드의 범주가 단순히 호모토피 동치의 호모토피 준동형사상의 호모토피 클래스로 이루어져 있음을 보장하기 위해 수정된 호모토피 준동형사상의 정의가 필요하다는 점을 밝혀내는 것.
• 호모토피 코일리미트와 상수 다이어그램 함자 간의 유도된 수반 관계가, 호모토피 클래스를 취하기 전의 호모토피 수반 관계에서 유래됨을 보여주는 것.
• 이 결과를 응용하여 그룹 완비화 정리의 대수적 형태를 유도하고, $B$가 자연 호모토피 동치에 관하여 호모토피 코일리미트를 보존함을 증명하는 것.

제안 방법

• 기저 매핑이 호모토피 동치인 모든 준동형사상들을 역으로 만들기 위해 위상 수반 모노이드의 범주 $\mathcal{M}on$을 국소화하는 것.
• 기저를 가진 맵이 (기본적으로는 아닐지라도) 호모토피 동치인 모든 맵을 역으로 만들기 위해 기저를 가진 공간의 범주 $\mathcal{T}\!op^*$를 국소화하는 것.
• 국소화된 $\mathcal{M}on$이 단순히 호모토피 동치의 호모토피 준동형사상의 호모토피 클래스로 이루어져 있음을 보장하기 위해 수정된 호모토피 준동형사상의 개념을 정의하는 것.
• 잘 점착된 모노이드의 범주 $\mathcal{H}\!\mathcal{M}on^w$와 잘 점착된 공간의 범주 $\mathcal{T}\!op^w$ 사이의 호모토피 수준에서의 수반 관계 $B: \mathcal{H}\!\mathcal{M}on^w \leftrightarrows \mathcal{T}\!op^w : \Omega'$를 확립하는 것.
• 이 수반 관계를 다이어그램으로 올리기—즉, 호모토피 코일리미트와 상수 다이어그램 함자 간의 유도된 수반 관계가, 호모토피 클래스를 취하기 전의 기저 수반 관계에서 기인함을 보여주는 것.
• 호모토피 코일리미트의 구성 $\mathop{\rm hocolim}\nolimits D = B(\ast, \mathcal{C}, \mathcal{C}) \otimes_\mathcal{C} QD$ 를 사용하여, $B$가 자연 호모토피 동치에 관하여 호모토피 코일리미트를 보존함을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 적절한 국소화를 거친 후, 분류 공간 함자 $B$가 기저 매핑의 호모토피 동치에 관하여 국소화된 범주에서 모어 루프 공간 함자 $\Omega'$의 좌측 수반으로서 작용할 수 있는가?
• RQ2 국소화된 $\mathcal{M}on$이 호모토피 동치의 호모토피 준동형사상의 호모토피 클래스로 이루어지도록 하기 위해 필요한 올바른 호모토피 준동형사상의 개념은 무엇인가?
• RQ3 분류 공간 함자 $B$와 모어 루프 공간 함자 $\Omega'$ 간의 수반 관계가 다이어그램으로 올라가며, 따라서 호모토피 코일리미트와 상수 다이어그램 함자 간의 유도된 수반 관계를 유도하는가?
• RQ4 이 호모토피 수반 관계를 이용하여 그룹 완비화 정리를 더 대수적인 형태로 재구성할 수 있는가?
• RQ5 분류 공간 함자 $B$는 자연 호모토피 동치에 관하여 호모토피 코일리미트를 보존하는가?

주요 결과

• 기저 매핑의 호모토피 동치에 관하여 국소화된 $\mathcal{M}on$과 기저를 가진 공간의 범주에서, 분류 공간 함자 $B: \mathcal{M}on \to \mathcal{T}\!op^*$는 모어 루프 공간 함자 $\Omega'$의 좌측 수반이다.
• 국소화된 $\mathcal{M}on$은 단순히 호모토피 동치의 호모토피 준동형사상의 호모토피 클래스로 이루어진 범주와 동치이며, 이는 일致성을 확보하기 위해 수정된 호모토피 준동형사상의 정의가 필요하다.
• 잘 점착된 모노이드의 범주와 잘 점착된 공간의 범주 사이에는 호모토피 수준에서의 수반 관계가 존재하며, 이는 다이어그램으로 올라간다.
• 이 올림은 호모토피 코일리미트와 상수 다이어그램 함자 간의 유도된 수반 관계가, 호모토피 클래스를 취하기 전의 기저 수반 관계에서 기인함을 의미한다.
• $B$는 자연 호모토피 동치에 관하여 호모토피 코일리미트를 보존한다: 자연 맵 $\mathop{\rm hocolim}\nolimits^{{\mathcal{T}\!op}^*} BD \to B(\mathop{\rm hocolim}\nolimits^{\mathcal{M}on} D)$ 는 호모토피 동치이다.
• 이 호모토피 수반 관계와 $B$의 호모토피 코일리미트 보존 성질을 바탕으로 그룹 완비화 정리의 대수적 형태를 유도할 수 있다.