[논문 리뷰] Hopf algebroids with bijective antipodes: axioms, integrals and duals

Gabriella Böhm, Kornél Szlachányi|ArXiv.org|2003. 02. 26.

Advanced Topics in Algebra인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 기저 환 $L$ 위의 양측 바이알게브로이드이자 반전 가능성이 있는 항등자 $S$를 갖는 새로운 종류의 호프 대수적 구조체를 정의한다. 이 항등자는 왼쪽과 오른쪽 바이알게브로이드의 구조를 서로 바꾸며, 호프 대수와 약한 호프 대수를 일반화한다. 이러한 호프 대수적 구조체에서 비퇴화된 적분의 존재는 기저 환의 확장을 프로베누스 확장으로 이끌며, 이는 이중 호프 대수적 구조체를 이중성에 의해 구성할 수 있게 한다. 또한 이 이중성은 스스로를 반복하는 성질을 가짐을 증명한다.

ABSTRACT

Motivated by the study of depth 2 Frobenius extensions we introduce a new notion of Hopf algebroid. It is a 2-sided bialgebroid with a bijective antipode which connects the two, left and right handed, structures. While all the interesting examples of the Hopf algebroid of J.H. Lu turn out to be Hopf algebroids in the sense of this paper, there exist simple examples showing that our definition is not a special case of Lu's. Our Hopf algebroids, however, belong to the class of $ imes_L$-Hopf algebras proposed by P. Schauenburg. After discussing the axioms and some examples we study the theory of non-degenerate integrals in order to obtain duals of Hopf algebroids.

연구 동기 및 목표

• 기저 환 $L$ 위의 양측 바이알게브로이드이자 반전 가능 항등자를 갖는 새로운 종류의 호프 대수적 구조체를 정의하여, 호프 대수와 약한 호프 대수를 일반화한다. 이 항등자는 왼쪽과 오른쪽 바이알게브로이드의 구조를 서로 바꾼다.
• 깊이 2 프로베누스 확장과 이중선형 형식에서 자연스럽게 유도되는 항등자의 역할을 규명하여 바이알게브로이드에서 항등자가 어떻게 작용하는지를 명확히 한다.
• 비퇴화된 적분의 존재 조건을 통해 호프 대수적 구조체가 이중을 갖는 조건을 설정한다.
• 비퇴화된 적분을 갖는 호프 대수적 구조체의 이중이 다시 호프 대수적 구조체임을 증명하고, 이 이중성이 스스로를 반복하는 성질을 가짐을 보인다.
• 이러한 구성이 약한 호프 대수에서 알려진 이중성의 특수한 경우를 복원하며, 기저 환이 비가환일 경우에도 이를 일반화함을 보인다.

제안 방법

• 기저 환 $L$ 위의 양측 바이알게브로이드이자 반전 가능 항등자 $S$를 갖는 호프 대수적 구조체를 정의한다. 이 항등자는 왼쪽과 오른쪽 바이알게브로이드의 구조를 서로 바꾼다.
• 바이알게브로이드에서 비퇴화된 적분 이론을 활용하여 기저 환 $L$ 위의 대수의 $L$-이중을 통해 이중 대상을 구성한다.
• 기존 대수의 $L$-이중 위에 이중 바이알게브로이드의 구조를 정의한다. 이 정의는 $\iota: A \to {}^*({\cal A}_*)$에 의해 주어지며, $\iota(a)(\phi_*) = \phi_*(a)$로 정의된다.
• 비퇴화된 왼쪽 적분 $\ell$의 존재는 기저 환의 확장 $L \to A$가 프로베누스 확장임을 보이며, $A$가 $L$-모듈로서 유한 생성 프로젝티브임을 증명한다.
• 이중 호프 대수적 구조체 $({\cal A}^\ell_*, S^\ell_*)$가 기존 구조체와 엄밀한 동형사상으로 연결됨을 보이며, 항등자와 적분의 호환성 조건을 이용한다.
• 이중성 작용이 스스로를 반복함을 증명한다. 즉, 두 번 적용하면 원래의 호프 대수적 구조체와 엄밀한 동형사상으로 복원됨을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 바이알게브로이드에서 항등자를 어떻게 정의할 수 있을까? 특히, 바이알게브로이드의 반대가 동일한 의미에서 바이알게브로이드가 되지 않을 때, 왼쪽과 오른쪽의 구조를 통합하는 방법은 무엇인가?
• RQ2 어떤 조건에서 호프 대수적 구조체가 이중을 갖는가? 그리고 이중은 어떻게 대수적으로 구성할 수 있는가?
• RQ3 비퇴화된 적분은 호프 대수적 구조체의 대수적 구조와 그 이중의 구조에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 이 새로운 호프 대수적 구조체의 정의는 루의 호프 대수적 구조체나 쇼펜부르그의 $\times_L$-호프 대수와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 이 프레임워크를 통해 약한 호프 대수의 이중성은 비가환 기저 환으로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 호프 대수적 구조체 $({\cal A}_L, S)$에서 비퇴화된 왼쪽 적분의 존재는 기저 환의 확장 $L \to A$가 프로베누스 확장이며, $A$가 $L$-모듈로서 유한 생성 프로젝티브임을 뜻한다.
• $L$-이중인 호프 대수적 구조체 $({\cal A}_L, S)$의 $L$-이중, 즉 $({\cal A}^\ell_*, S^\ell_*)$는 잘 정의된 바이알게브로이드의 구조를 갖는다.
• $({\cal A}^\ell_*, S^\ell_*)$는 자연스러운 항등자를 지녀, 이중 바이알게브로이드가 호프 대수적 구조체임을 증명한다.
• 이중 사상 $\iota: A \to {}^*({\cal A}_*)$는 기존의 호프 대수적 구조체 $({\cal A}_L, S^\prime_\ell)$와 $({}^*({\cal A}_*)_{L}, {}^*(S^\ell_*)_{\ell_L^{-1}(1_A)})$ 사이의 엄밀한 동형사상으로 확장되며, 이는 이중성이 스스로를 반복함을 증명한다.
• 이 구성은 유한 차원 호프 대수의 고전적 이중성을 복원하며, 이를 약한 호프 대수와 비가환 기저 환으로까지 일반화한다.
• 논문은 새로운 공리계를 만족하지만 루의 공리계를 만족하지 않는 호프 대수적 구조체의 예를 제시하여, 두 개념이 동치가 아님을 증명한다.