[논문 리뷰] Hopf Galois Extension in Braided Tensor Categories

Yao-Zhong Zhang, Yao-Zhong Zhang|ArXiv.org|2003. 09. 27.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 21인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 등가자와 공등가자를 갖는 브레인드 텐서 범주에서 교차곱 대수와 H-Galois 확장을 위한 범주적 동치를 수립한다. $ A = B \#_{\sigma} H $가 교차곱이 되기 위한 필요충분조건은 확장 $ A/B $가 Galois이면서, 정규화 사상 $ q: A \otimes A \to A \otimes_B A $가 분리 가능하고, 범주 $ \mathcal{C} $에서 왼쪽 $ B $-모듈과 오른쪽 $ H $-코모듈로서 $ A \cong B \otimes H $임을 증명한다.

ABSTRACT

The relation between crossed product and $H$-Galois extension in braided tensor category ${\cal C}$ with equivalisers and coequivalisers is established. That is, it is shown that if there exist an equivaliser and a coequivaliser for any two morphisms in ${\cal C}$, then $A = B #_σH$ is a crossed product algebra if and only if the extension $A/B$ is Galois, the canonical epic $q: A\otimes A o A\otimes_B A$ is split and $A$ is isomorphic as left $B$-modules and right $H$-comodules to $B\otimes H$ in ${\cal C}$.

연구 동기 및 목표

• 브레인드 텐서 범주로 고전적인 교차곱과 H-Galois 확장의 대응을 일반화하기 위해.
• 비구체적 범주에서 등가자와 공등가자를 이용해 코인variants와 상대적 텐서곱을 정의하기 위해.
• 브레인드 텐서 범주에서 교차곱 대수가 H-Galois가 되기 위한 필요충분조건을 수립하기 위해.
• Yetter-Drinfeld 범주 $ {}_D^D\mathcal{YD} $에서 H-Galois 확장을 위한 범주적 프레임워크를 제공하여 브레인드 호프 대수에 적용 가능하게 하기 위해.
• 기존의 호프-갈로아 이론 결과를 브레인드 설정으로 확장하여, 특히 Yetter-Drinfeld 범주 내의 호프 대수에 대해 적용 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 브레인드 텐서 범주 $ \mathcal{C} $에서 구체성 조건을 가정하지 않고 등가자와 공등가자를 사용해 코인variants $ A^{coH} $와 상대적 텐서곱 $ A \otimes_B A $를 정의한다.
• 정규화 사상 $ \text{can}: A \otimes_B A \to A \otimes H $의 존재를 통해 H-Galois 확장을 정의하며, $ \text{can} \circ q = \text{can}' $을 만족시키며, 여기서 $ \text{can}' = (m_A \otimes H)(A \otimes \psi) $이다.
• 호프 대수 $ H $의 약한 작용 $ \alpha $, 2-코사이클 $ \sigma $ 및 그들의 호환 조건을 이용해 $ \mathcal{C} $에서 교차곱 $ B \#_{\sigma} H $의 개념을 도입한다.
• 범주 $ \mathcal{C} $에서 $ A = B \#_{\sigma} H $가 교차곱 대수임과 동시에 $ A/B $가 Galois이면서 $ q $가 분리 가능하고, 왼쪽 $ B $-모듈과 오른쪽 $ H $-코모듈로서 $ A \cong B \otimes H $임이 필요충분조건임을 수립한다.
• 일반적 결과를 Yetter-Drinfeld 범주 $ {}_D^D\mathcal{YD} $에 적용하며, 이 경우 등가자와 공등가자가 핵과 코핵으로 구현됨을 보인다.
• Radford의 구성과 Nichols 대수를 포함한 브레인드 호프 대수의 구조를 이용해 구체적인 예를 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 등가자와 공등가자를 갖는 브레인드 텐서 범주에서 교차곱 대수 $ B \#_{\sigma} H $가 H-Galois 확장이 되기 위한 범주적 조건은 무엇인가?
• RQ2 구체적 범주를 가정하지 않고 브레인드 텐서 범주에서 코인variants와 상대적 텐서곱을 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ3 등가자와 공등가자를 갖는 브레인드 텐서 범주에서 대수 $ A $가 교차곱이자 H-Galois 확장이 되기 위한 필요충분조건은 무엇인가?
• RQ4 이 범주적 설정에서 정규화 사상 $ q: A \otimes A \to A \otimes_B A $의 분리 가능성과 H-Galois 조건는 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 일반 이론은 Yetter-Drinfeld 범주 $ {}_D^D\mathcal{YD} $에 적용 가능한가? 그리고 이는 브레인드 호프 대수에 대해 어떤 함의를 갖는가?

주요 결과

• 등가자와 공등가자를 갖는 브레인드 텐서 범주 $ \mathcal{C} $에서 $ A = B \#_{\sigma} H $가 교차곱 대수임과 동시에 $ A/B $가 Galois이면서, 정규화 사상 $ q: A \otimes A \to A \otimes_B A $가 분리 가능하고, 왼쪽 $ B $-모듈과 오른쪽 $ H $-코모듈로서 $ A \cong B \otimes H $임이 필요충분조건이다.
• 코인variants $ A^{coH} $는 $ \psi $와 $ \text{id}_A \otimes \eta_H $의 등가자로 정의되며, 상대적 텐서곱 $ A \otimes_B A $는 $ m_A \otimes A $와 $ A \otimes m_A $를 포함하는 두 복합사상의 공등가자로 정의된다.
• Yetter-Drinfeld 범주 $ {}_D^D\mathcal{YD} $에서는 등가자와 공등가자가 핵과 코핵으로 구현되므로, 일반 결과는 구체적인 범주적 설정으로 특수화된다.
• 보조정리 2.1은 $ \mathcal{C} = {}_D^D\mathcal{YD} $일 때, 역전치 2-코사이클과 약한 작용의 존재가 $ A = B \#_{\sigma} H $가 교차곱이 되기 위한 조건으로 Galois, 분리 가능성, 모듈-코모듈 동형 조건이 동시에 성립함을 보여준다.
• 결과는 기존의 일반 호프 대수 이론에서 알려진 결과들, 예를 들어 [9, 정리 6.4.12]를 브레인드 설정으로 일반화하며, 비자명한 브레인딩으로 인해 $ q $의 분리 가능성은 자동으로 성립하지 않음을 보여준다.
• 예시로는 그레디에이션 호프 대수에서 유도된 Radford의 방법을 통한 브레인드 호프 대수, (코)쿼아트리앙털 호프 대수에서 유도된 것들, 그리고 자연스럽게 브레인드 호프 대수인 Nichols 대수들이 포함된다.