[논문 리뷰] Hopf polyads, Hopf categories and Hopf group monoids viewed as Hopf monads

Gabriella Böhm|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 16.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 13인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 고차 범주론과 호프 대수 이론에서 최근 등장한 구조인 호프 폴리아드, 호프 카테고리, 호프 군 모노이드는 특정한 모나이드 이중범주 구조인 Span|V에서의 호프 모나드로 균일하게 이해될 수 있음을 입증한다. 주어진 모나이드 이중범주 V에 대해 이러한 구조들을 Span|V에 함의함으로써, 저자들은 이 세 유형의 대상이 자연스럽게 프로비우스 opmap 모노이드랄 위의 호프 모나드로 나타나며, 이로써 그들의 역소 성질과 대수적 구조가 모나이드 이중범주 내의 호프 모나드 이론에 통합됨을 보여준다.

ABSTRACT

We associate, in a functorial way, a monoidal bicategory $\mathsf{Span}| \mathcal V$ to any monoidal bicategory $\mathcal V$. Two examples of this construction are of particular interest: Hopf polyads (due to Bruguières) can be seen as Hopf monads in $\mathsf{Span}| \mathsf{Cat}$ while Hopf group monoids in a braided monoidal category $V$ (in the spirit of Turaev and Zunino), and Hopf categories over $V$ (by Batista, Caenepeel and Vercruysse) both turn out to be Hopf monads in $\mathsf{Span}| V$. Hopf group monoids and Hopf categories are Hopf monads on a distinguished type of monoidales fitting the framework studied recently by Böhm and Lack. These examples are related by a monoidal pseudofunctor $V o \mathsf{Cat}$.

연구 동기 및 목표

• 다양한 대수적 구조—호프 폴리아드, 호프 카테고리, 호프 군 모노이드—를 동일한 범주론적 프레임워크 아래 통합하기.
• 주어진 모나이드 이중범주 V에 대해 이 구조들이 특정한 모나이드 이중범주 구조인 Span|V에서 호프 모나드로 나타남을 보여주기.
• 호프 군 모노이드와 호프 카테고리가 Span|V에서 자연스러운 프로비우스 opmap 모노이드랄 위의 호프 모나드로 나타남을 보여주며, 이로써 그들의 역소의 존재성과 성질을 설명하기.
• Span|V에서 Span|Cat로의 모나이드 편(Category) 준동형을 수립하여, 이는 호프 군 모노이드와 호프 카테고리를 모두 호프 폴리아드로 매핑함으로써 이 세 구조 간의 계층적 관계를 드러내기.

제안 방법

• 주어진 모나이드 이중범주 V로부터 모나이드 이중범주 Span|V를 함의적 방식으로 구성함으로써, 모나이드 및 op모나이드 성질을 유지하는 구조를 수립하기.
• V가 모나이드일 경우 Span|V가 모나이드 성질을 상속받으며, 이중범주 간의 립스 함의가 그들의 Span|− 대응체 간의 립스 함의를 유도함을 보여주기.
• Span|Cat에서의 호프 폴리아드를 군oids에서 유래된 모노이드랄 위의 op모나이드 모나드로 식별하기.
• 브라운드 모나이드 이중범주 V에서의 카테고리들을 Span|V에서의 모나드로 식별하고, 호프 카테고리와 호프 군 모노이드를 Span|V에서 자연스러운 프로비우스 opmap 모노이드랄 위의 op모나이드 및 호프 모나드로 식별하기.
• V → Cat의 모나이드 편(Category) 준동형을 구성함으로써, 이로부터 Span|V → Span|Cat로의 모나이드 편(Category) 준동형을 유도하고, 이는 호프 군 모노이드와 호프 카테고리를 모두 호프 폴리아드로 매핑함.
• 모나이드 이중범주에서의 모노이드랄, 모나드, op모나이드 성질 및 2-세포의 가역성은 모나이드 편(Category) 준동형에 의해 보존되며, 이로써 호프 모나드도 보존됨을 보여주어 주요 통합 결과를 증명하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 호프 폴리아드, 호프 카테고리, 호프 군 모노이드는 동일한 범주론적 프레임워크 내에서 호프 모나드로 균일하게 기술될 수 있는가?
• RQ2 브라운드 모나이드 이중범주 V에 대해, 호프 군 모노이드와 호프 카테고리는 Span|V에서 자연스러운 프로비우스 opmap 모노이드랄 위의 호프 모나드로 나타나는가?
• RQ3 호프 군 모노이드와 호프 카테고리의 역소 구조는 그것들이 호프 모나드로 표현됨을 통해 어떻게 설명될 수 있는가?
• RQ4 Span|V → Span|Cat의 모나이드 편(Category) 준동형은 호프 군 모노이드, 호프 카테고리, 호프 폴리아드 간의 관계를 어떻게 설명하는가?
• RQ5 문헌 [6]에서 알려진 표현 가능한 호프 폴리아드는, 유도된 모나이드 편(Category) 준동형에 의해 호프 군 모노이드와 호프 카테고리의 영상으로 정확히 일치하는가?

주요 결과

• Span|Cat에서의 호프 폴리아드는 군oids에서 유래된 모노이드랄 위의 op모나이드 모나드로 동치이며, 기저 폴리아드가 군oid 위의 호프 폴리아드일 때에만 호프 모나드가 된다.
• 브라운드 모나이드 이중범주 V 위의 호프 카테고리는 자연스러운 프로비우스 opmap 모노이드랄 위의 Span|V에서의 호프 모나드이며, 그들의 역소 구조는 내부 호모지오그래프 카테고리 위의 두이oidal 구조에 의해 설명된다.
• V 내의 호프 군 모노이드는 자명한 자연스러운 프로비우스 opmap 모노이드랄 위의 Span|V에서의 호프 모나드이며, 그들의 역소는 호프 모나드 구조에서 유래된다.
• V → Cat의 모나이드 편(Category) 준동형은 Span|V → Span|Cat로의 모나이드 편(Category) 준동형을 유도하며, 이는 호프 군 모노이드와 호프 카테고리를 모두 호프 폴리아드로 매핑한다. 이는 이러한 호프 폴리아드가 [6]의 의미에서 표현 가능하다는 것을 확인한다.
• Span|V의 구성은 함의적이다: 임의의 립스 함의 F: V → W는 립스 함의 Span|F: Span|V → Span|W를 유도하며, 이는 모나이드 및 op모나이드 성질을 보존한다.
• 모든 구조—호프 폴리아드, 호프 카테고리, 호프 군 모노이드—는 모나이드 이중범주 내에서 호프 모나드로 통합되며, 그들의 호프 성질과 역소 존재성은 자연스러운 프로비우스 opmap 모노이드랄 및 두이oidal 내부 호모지오그래프 카테고리의 프레임워크를 통해 설명된다.