[논문 리뷰] How to Play Unique Games against a Semi-Random Adversary

Alexandra Kolla, Konstantin Makarychev외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 04. 19.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 23인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 완전히 만족 가능한 인스턴스가 생성된 후에 적대자에 의해 일부 제약 조건이 손상되는 유일한 게임에 대한 새로운 반무작위 모델을 제안한다. 새로운 비표준 SDP 재구속과 하이브리드 SDP-LP 라운딩 기법을 도입하여, 평균 차수(average degree)가 충분히 높고 ε가 절대 상수 이하일 경우 다항시간 알고리즘이 제약 조건의 (1−δ) 분율을 만족시킬 수 있도록 한다. 이는 표준 SDP 방법보다 반무작위 인스턴스에서 더 뛰어난 성능을 보인다.

ABSTRACT

In this paper, we study the average case complexity of the Unique Games problem. We propose a natural semi-random model, in which a unique game instance is generated in several steps. First an adversary selects a completely satisfiable instance of Unique Games, then she chooses an epsilon-fraction of all edges, and finally replaces ("corrupts") the constraints corresponding to these edges with new constraints. If all steps are adversarial, the adversary can obtain any (1-epsilon) satisfiable instance, so then the problem is as hard as in the worst case. In our semi-random model, one of the steps is random, and all other steps are adversarial. We show that known algorithms for unique games (in particular, all algorithms that use the standard SDP relaxation) fail to solve semi-random instances of Unique Games. We present an algorithm that with high probability finds a solution satisfying a (1-delta) fraction of all constraints in semi-random instances (we require that the average degree of the graph is Omega(log k). To this end, we consider a new non-standard SDP program for Unique Games, which is not a relaxation for the problem, and show how to analyze it. We present a new rounding scheme that simultaneously uses SDP and LP solutions, which we believe is of independent interest. Our result holds only for epsilon less than some absolute constant. We prove that if epsilon > 1/2, then the problem is hard in one of the models, the result assumes the 2-to-2 conjecture. Finally, we study semi-random instances of Unique Games that are at most (1-epsilon) satisfiable. We present an algorithm that with high probability, distinguishes between the case when the instance is a semi-random instance and the case when the instance is an (arbitrary) (1-delta) satisfiable instance if epsilon > c delta.

연구 동기 및 목표

• 적대적 요소와 무작위 요소가 혼합된 반무작위 모델에서 유일한 게임의 평균 케이스 복잡도를 연구하는 것.
• 표준 SDP 기반 접근법이 실패하는 반무작위 유일한 게임 인스턴스를 효율적으로 해결할 수 있는 알고리즘을 개발하는 것.
• 거의 만족 가능한 반무작위 인스턴스와 중간 정도로 만족 가능한 일반 인스턴스를 구분하는 것.
• 특히 2-to-2 추측 하에 반무작위 모델에서의 근사 한계를 분석하는 것.

제안 방법

• 완전히 만족 가능한 유일한 게임 인스턴스가 생성된 후, 적대자가 ε-분율의 간선을 무작위 제약 조건으로 손상시키는 반무작위 모델을 도입한다.
• 원래 문제의 재구속이 아닌, 반무작위 모델 하에서의 분석을 가능하게 하는 비표준 SDP 재구속을 제안한다.
• SDP와 LP 해를 동시에 사용하여 제약 조건 만족도를 향상시키는 하이브리드 라운딩 기법을 개발한다.
• 해결책에서 '짧은' 간선의 수를 제한하기 위해 Theorem 4.4의 수정된 버전을 적용하여, 재구속된 SDP 해에서의 측도 집중 현상을 보여준다.
• 확률적 분석을 통해 반무작위 인스턴스에서 최소 ε/32의 SDP 목표 값이 높은 확률로 달성됨을 보인다.
• 일부 정점에 대한 벡터를 재정의하여 노름 한계를 유지하는 방식의 재구속된 SDP 해를 사용하여, 손상에 대한 강건성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 SDP 기반 알고리즘이 상수 분율의 제약 조건이 적대적으로 손상된 반무작위 유일한 게임 인스턴스를 해결할 수 있는가?
• RQ2 평균 차수가 충분히 높을 경우, 반무작위 유일한 게임에서 다항시간 알고리즘이 제약 조건의 (1−δ) 분율을 만족시킬 수 있는가?
• RQ3 ε-분율의 제약 조건이 손상된 반무작위 인스턴스는 δ-만족 가능한 일반 인스턴스와 효율적으로 구분될 수 있는가? (여기서 δ ≪ ε)
• RQ4 2-to-2 추측을 가정할 때, 반무작위 유일한 게임의 근사가 어려워지는 ε의 임계값은 무엇인가?

주요 결과

• 표준 SDP 기반 알고리즘은 조건이 단지 ε-분율로 손상된 반무작위 유일한 게임 인스턴스에서도 실패한다. 여기서 ε는 절대 상수 이하일 때조차도 마찬가지다.
• 제안된 알고리즘은 반무작위 인스턴스에서 제약 조건의 (1−O(ε+η/log k)) 분율을 만족한다. 여기서 η는 SDP 해와 관련된 매개변수이며, 평균 차수는 Ω̃(log k)이다.
• 손상된 제약 조건들에 대해서도 알고리즘은 높은 제약 조건 만족도를 달성하여 총 제약 조건의 (1−O(ε+η/log k)) 분율을 만족시킨다.
• ε < 1/2일 경우, 반무작위 모델에서 문제는 여전히 해결 가능하다. 그러나 ε ≥ 1/2일 경우, 2-to-2 추측 하에 문제는 어렵게 되며, (1−ε)-만족 가능한 반무작위 인스턴스와 δ-만족 가능한 인스턴스를 구분할 수 있는 다항시간 알고리즘이 존재하지 않는다.
• ε|E|개의 간선이 무작위로 손상된 반무작위 인스턴스의 SDP 값은 높은 확률로 최소 ε/32 이상이며, 이는 δ < cε를 만족하는 절대 상수 c에 대해 (1−δ)-만족 가능한 인스턴스와의 효과적 구분을 가능하게 한다.