[논문 리뷰] $hp$-Version discontinuous Galerkin methods on essentially arbitrarily-shaped elements

Andrea Cangiani, Zhaonan Dong외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 04.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 50인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 비선형 매핑을 요구하지 않고도 근본적으로 임의의 형상을 가진 요소, 예를 들어 곡선 다각형을 포함하여도 안정성과 최적 수렴성을 확보하는 $hp$-버전 불연속 갈레르킨 방법을 제안한다. 핵심 혁신은 형상에 따라 달라지지만 변형에 민감하지 않은 내부 페널티 안정화로, 이는 일반적인 요소 기하구조에서의 새로운 역추정에 기반한다. 수치 실험을 통해 $p$-선택에서 지수 수렴이 확인되었다.

ABSTRACT

We extend the applicability of the popular interior-penalty discontinuous Galerkin (dG) method discretizing advection-diffusion-reaction problems to meshes comprising extremely general, essentially arbitrarily-shaped element shapes. In particular, our analysis allows for \emph{curved} element shapes, without the use of non-linear elemental maps. The feasibility of the method relies on the definition of a suitable choice of the discontinuity penalization, which turns out to be explicitly dependent on the particular element shape, but essentially independent on small shape variations. This is achieved upon proving extensions of classical trace and Markov-type inverse estimates to arbitrary element shapes. A further new $H^1-L_2$-type inverse estimate on essentially arbitrary element shapes enables the proof of inf-sup stability of the method in a streamline-diffusion-like norm. These inverse estimates may be of independent interest. A priori error bounds for the resulting method are given under very mild structural assumptions restricting the magnitude of the local curvature of element boundaries. Numerical experiments are also presented, indicating the practicality of the proposed approach.

연구 동기 및 목표

• 비선형 매핑을 사용하지 않고도 근본적으로 임의의 형상, 특히 곡선 다각형 요소를 포함한 메쉬에 대해 $hp$-버전 내부 페널티 불연속 갈레르킨(IP-dG) 방법의 적용 범위를 확장하는 것.
• 요소 곡률에 대한 최소한의 가정 하에 메쉬의 안정성과 수렴성을 확립하는 것. 비선형 매개변수화 매핑을 사용하지 않는다.
• 임의의 요소 형상에 대해 유효한 새로운 추적 및 마르코프 유형의 역추정을 개발하여 강건한 오차 분석을 가능하게 하는 것.
• 유연한 형상에서의 $H^1-L^2$-유형의 역추정을 증명하여 스트림라인-확산 유사 노름에서의 inf-sup 안정성을 뒷받침하는 것.
• 불연속 해와 진동하는 계수를 가진 곡선 메쉬에서의 수치 실험을 통해 방법의 실용성을 입증하는 것.

제안 방법

• 지역 요소 기하구조에 명시적으로 의존하는 내부 페널티 안정화를 사용하여 임의의 다각형 및 곡선 요소에서 새로운 불연속 갈레르킨 형식을 제안한다.
• 임의의 요소 형상에 대해 일반화된 추적 및 마르코프 유형의 역부등식을 유도하여 이산 노름의 유계성을 보장한다.
• 기본적으로 임의의 요소 형상에서의 새로운 $H^1-L^2$ 역추정을 도입하여 스트림라인-확산 유사 노름에서의 inf-sup 안정성 증명에 필수적인 요소로 삼는다.
• 연속성의 약한 강제화를 요소 형상에 명시적으로 맞춤형으로 조정된 페널티 항을 통해 수행하며, 소규모 형상 변화에 대해 강건하다.
• 유입/배출 부분이 있는 면에서의 통합을 처리하기 위해 복합 적분 규칙을 적용하여 비정렬 메쉬에서도 정확한 계산을 가능하게 한다.
• $p$-선택을 고정된 곡선 메쉬에서 수행하여 지수 수렴을 달성함으로써 스펙트럼 정확도를 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 매핑 없이도 $hp$-버전 IP-dG 방법이 근본적으로 임의의 형상, 특히 곡선 다각형 요소를 포함한 메쉬에서 안정성과 수렴성을 확보할 수 있는가?
• RQ2 오차 분석과 안정성 지원을 위해 역추정을 어떻게 일반화하여 임의의 요소 기하구조에 적용할 수 있는가?
• RQ3 형상에 따라 달라지지만 소규모 형상 변화에 강건한 안정성을 확보하기 위해 내부 페널티가 어떤 형태여야 하는가?
• RQ4 임의의 요소 형상에서 스트림라인-확산 유사 노름에서의 inf-sup 안정성을 증명할 수 있는가?
• RQ5 $p$-버전에서 메쉬가 불연속성이나 진동하는 계수에 맞춰진 경우, 방법이 지수 수렴을 달성하는가?

주요 결과

• 제안된 방법은 불연속 해가 있는 곡선 메쉬에서 $p$-선택을 통해 지수 수렴을 달성한다. 이는 진동하는 이류장이 존재하는 경우에도 성립한다.
• 메쉬가 요소당 두 개의 전체 진동을 해상도로 갖는 경우, $p \geq 6$에서 수치 실험을 통해 스펙트럼 정확도가 확인되었으며, 낮은 $p$에서의 일시적 정체 후 복귀함을 보였다.
• 임의의 형상에서의 새로운 $H^1-L^2$ 역추정은 스트림라인-확산 유사 노름에서의 inf-sup 안정성 증명을 가능하게 하여 강건성에 핵심적인 단계를 제공한다.
• 페널티 계수는 요소 형상에 명시적으로 의존하지만 소규모 형상 변화에 대해 강건하여 실용적 구현이 가능하다.
• 메쉬 기하구조가 복잡한 경우, 비정렬 유입 경계와 곡선 인터페이스를 포함하여도 메쉬 정렬 또는 재매개변수화 없이도 성공적으로 처리할 수 있다.
• 이론적 결과는 불연속 해와 곡선 인터페이스를 가진 초구형-포물형 문제에 대한 수치 실험을 통해 지지되며, 강건한 성능을 입증한다.