[논문 리뷰] Hybrid collocation perturbation for PDEs with random domains

Julio E. Castrillón-Candás, Fabio Nobile외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 29.

Probabilistic and Robust Engineering Design참고 문헌 13인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 타원형 PDE를 무작위 도메인에서 해결하기 위해 고체 및 미세 변형으로 도메인 변형을 분리하는 하이브리드 콜로케이션-편미분 방법을 제안한다: 큰 변형은 희소 격자 스토하스틱 콜로케이션으로 처리하고, 작은 변형은 편미분 기법으로 근사한다. 이 방법은 꼬리 전개 계수에 대해 분산 오차에서 2차 수렴을 달성하여 표준 스토하스틱 콜로케이션보다 크게 뛰어나며, 작은 변형 차원 수에 대해 계산 비용을 최대 제곱형으로 줄이고, 상관관계가 없을 경우 선형으로 줄인다.

ABSTRACT

In this work we consider the problem of approximating the statistics of a given Quantity of Interest (QoI) that depends on the solution of a linear elliptic PDE defined over a random domain parameterized by $N$ random variables. The random domain is split into large and small variations contributions. The large variations are approximated by applying a sparse grid stochastic collocation method. The small variations are approximated with a stochastic collocation-perturbation method. Convergence rates for the variance of the QoI are derived and compared to those obtained in numerical experiments. Our approach significantly reduces the dimensionality of the stochastic problem. The computational cost of this method increases at most quadratically with respect to the number of dimensions of the small variations. Moreover, for the case that the small and large variations are independent the cost increases linearly.

연구 동기 및 목표

• 고차원 불확실성을 가진 무작위 도메인에서 정의된 타원형 PDE의 관심사 양(QoI) 통계를 계산하는 데 도전하는 것.
• 많은 수의 무작위 변수를 다룰 때 스토하스틱 콜로케이션 방법의 계산 비용을 줄이기 위해 큰 변화와 작은 변화를 분리하는 것.
• 주요 변화에는 희소 격자 콜로케이션, 잔여 작은 변화에는 편미분 기법을 조합한 증명 가능하게 수렴하는 방법을 개발하는 것.
• 유한 요소, 희소 격자, 그리고 편미분 근사 기반으로 QoI의 평균과 분산에 대한 엄밀한 오차 추정을 유도하는 것.
• 순수 스토하스틱 콜로케이션보다 빠른 수렴 속도를 달성함을 입증하는 것, 특히 차원 수가 증가할수록 더욱 두드러진다.

제안 방법

• 무작위 도메인은 N개의 무작위 변수로 매개변수화되며, 큰 변화(N_s 항)와 작은 변화(꼬리, N_f 항)로 분해된다.
• 큰 변화는 차원 감소와 계산 비용 절감을 위해 Clenshaw-Curtis 점을 사용하는 등급 스모리악 희소 격자로 근사된다.
• 작은 변화는 편미분 접근법으로 모델링되며, QoI의 평균 및 분산 보정은 꼬리 변수에서의 테일러 전개를 통해 계산된다.
• 분산 보정 항은 복소수 도메인 Θ_{β,N_s} ⊂ ℂ^{N_s}으로 해석적 연장 가능하게 되어, 해석적 계속을 통한 수렴 분석이 가능해진다.
• 오차 추정은 도메인 변형의 기울기 감쇠 속도와 희소 격자 내의 콜로케이션 점 수에 기반하여 유도된다.
• 고차원 설정에서의 추가 효율성을 위해 비등방성 희소 격자로 방법을 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스토하스틱 콜로케이션과 편미분 기법을 조합한 하이브리드 접근법이 무작위 도메인을 가진 PDE에서 순수 스토하스틱 콜로케이션보다 더 빠른 수렴 속도를 달성할 수 있는가?
• RQ2 큰 변화와 작은 변화를 분리할 때, 무작위 변수 수에 따라 계산 비용은 어떻게 변화하는가?
• RQ3 꼬리 전개 계수와 콜로케이션 점 수에 따라 QoI의 분산 수렴 행동은 어떻게 되는가?
• RQ4 분산 보정 항은 복소수 도메인으로 해석적으로 연장 가능하여 엄밀한 수렴 분석이 가능한가?
• RQ5 차원 수가 증가함에 따라 순수 콜로케이션과 비교했을 때 이 방법의 오차 감쇠 및 계산 효율성은 어떻게 되는가?

주요 결과

• 하이브리드 방법은 꼬리 전개 계수의 합에 대해 2차 수렴을 달성하여 순수 스토하스틱 콜로케이션의 선형 수렴보다 뛰어나다.
• 수치 실험 결과 하이브리드 방법의 오차 감쇠 속도가 더 빠르며, 차원 수가 증가함에 따라 정확도가 최대 23배 향상된다.
• 분산 보정을 위해 필요한 희소 격자 점의 수는 순수 콜로케이션에 비해 거의 무시할 수 있을 정도로 적다. 특히 편미분 오차가 지배적일 경우 더욱 그렇다.
• 작은 변화와 큰 변화가 상관관계가 없을 경우, 계산 비용은 작은 변화 차원 수에 대해 선형으로 증가한다.
• 이 방법의 수렴 속도는 도메인 변형의 기울기 감쇠 속도에 직접적으로 연관되어 있으며, 감쇠 속도가 빠를수록 더 좋은 수렴 성능을 보인다.
• 분산 보정 항은 ℂ^{N_s} 내 잘 정의된 영역으로 해석적으로 연장 가능하여 엄밀한 수렴 분석을 지원한다.