[논문 리뷰] Hypergraph Cuts with General Splitting Functions

Nate Veldt, Austin R. Benson외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 09.

Complexity and Algorithms in Graphs인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 초그래프의 최소 $s$-$t$ 컷 문제를 일반화한 프레임워크를 제안한다. 이 프레임워크는 초간선 노드의 분할 방식에 따라 다른 페널티를 부여하는 임의의 분할 함수를 사용한다. 문제는 분할 함수가 하위모듈라(submodular)일 때에만 다항시간에 해결 가능하며, 이는 하위모듈라 조건이 문제의 다항시간 해법을 보장하는 필요충분조건임을 보여준다. 또한, 하위모듈라 조건을 만족하지 않는 경우 문제의 NP-난해성을 규명한다. 본 연구는 하위모듈라 조건 하에서 다항식 시간에 근사 가능한 다중분할 컷 문제로의 확장도 다룬다.

ABSTRACT

The minimum $s$-$t$ cut problem in graphs is one of the most fundamental problems in combinatorial optimization, and graph cuts underlie algorithms throughout discrete mathematics, theoretical computer science, operations research, and data science. While graphs are a standard model for pairwise relationships, hypergraphs provide the flexibility to model multi-way relationships, and are now a standard model for complex data and systems. However, when generalizing from graphs to hypergraphs, the notion of a "cut hyperedge" is less clear, as a hyperedge's nodes can be split in several ways. Here, we develop a framework for hypergraph cuts by considering the problem of separating two terminal nodes in a hypergraph in a way that minimizes a sum of penalties at split hyperedges. In our setup, different ways of splitting the same hyperedge have different penalties, and the penalty is encoded by what we call a splitting function. Our framework opens a rich space on the foundations of hypergraph cuts. We first identify a natural class of cardinality-based hyperedge splitting functions that depend only on the number of nodes on each side of the split. In this case, we show that the general hypergraph $s$-$t$ cut problem can be reduced to a tractable graph $s$-$t$ cut problem if and only if the splitting functions are submodular. We also identify a wide regime of non-submodular splitting functions for which the problem is NP-hard. We also analyze extensions to multiway cuts with at least three terminal nodes and identify a natural class of splitting functions for which the problem can be reduced in an approximation-preserving way to the node-weighted multiway cut problem in graphs, again subject to a submodularity property. Finally, we outline several open questions on general hypergraph cut problems.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 분할 함수를 사용하는 초그래프 $s$-$t$ 컷 문제의 계산 복잡도를 체계화하고 분석하는 것.
• 일반화된 초그래프 $s$-$t$ 컷 문제의 다항시간 해법이 가능한 조건을 규명하는 것.
• 프레임워크를 다중분할 초그래프 컷 문제로 확장하고, 하위모듈라 조건 하에서 근사 보존 감소를 규명하는 것.
• 기수 기반 및 이동 기반 분할 함수에 대해 다항시간 해법과 NP-난해 문제의 경계를 규명하는 것.
• 일반화된 초그래프 컷 이론 분야에서의 열린 문제와 향후 연구 방향을 규명하는 것.

제안 방법

• 저자들은 초간선의 노드를 두 집합으로 분할하는 각 가능한 방식에 대해 페널티를 할당하는 분할 함수를 정의하여, 기존의 초간선 컷 개념을 일반화한다.
• 각 초간선을 보조 노드와 가중치가 부여된 간선을 가진 기구(gadget)로 모델링하는 그래프 감소 기법을 도입하여, 유도된 그래프에서의 최소 $s$-$t$ 컷이 초그래프의 최소 컷과 일치하도록 한다.
• 분할 함수가 하위모듈라일 때에만 이러한 그래프 감소 기법이 타당하다는 것을 증명하며, 하위모듈라 함수 최소화의 성질을 활용한다.
• 다중분할 컷의 경우, 이동 기반 분할 함수를 정의하고, 하위모듈라 이동 기반 함수가 그래프의 노드 가중치 다중분할 컷 문제로 감소됨을 보여주며 근사 보존 성질을 유지한다.
• 기존의 알려진 NP-난해 문제로의 감소 기반의 난이도 결과를 활용하며, '필요한 노드'를 포함하는 초그래프 구조를 설계하여 비하위모듈라 함수에 대해 난이도를 입증한다.
• 문제의 가용성 또는 난이도 영역을 매핑하기 위해 가용성 다이어그램과 파rameterized 분석을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분할 함수에 어떤 조건이 성립할 경우 일반화된 초그래프 $s$-$t$ 컷 문제가 다항시간에 해결 가능한가?
• RQ2 모든 하위모듈라 분할 함수를 지수적 수의 보조 노드 없이 초그래프 $s$-$t$ 컷 기구로 모델링할 수 있는가?
• RQ3 특정 기수 기반 $s$-$t$ 컷 문제인 NES-HyperCut(극단적인 가중치를 가진) 문제는 다항시간에 해결 가능한가, 아니면 NP-난해인가?
• RQ4 비하위모듈라 분할 함수의 어떤 클래스에 대해서도 일반화된 초그래프 $s$-$t$ 컷 문제가 여전히 다항시간에 해결 가능한가?
• RQ5 하위모듈라 영역을 초월하여 이동 기반 다중분할 초그래프 컷 문제에 대해 근사 보존 감소를 확립할 수 있는가?

주요 결과

• 일반화된 초그래프 $s$-$t$ 컷 문제가 하위모듈라일 때에만 다항시간에 해결 가능하며, 이는 엄밀한 특성화를 제공한다.
• 비하위모듈라 분할 함수의 경우, 기수 기반의 경우조차도 기존의 난이도 높은 문제들로의 감소를 통해 NP-난해임을 입증한다.
• 기수 기반 분할 함수에서 $w_1 = 1$ 이고 $w_2 = 0$ 인 5-균일 초그래프에서 문제의 근사화 역시 NP-난해이다.
• 다중분할 컷에 대해 광범위한 이동 기반 분할 함수 클래스는 그래프의 노드 가중치 다중분할 컷 문제로 감소되며, 하위모듈라 조건 하에서 근사 보장을 제공한다.
• 클러스터 기반 다중분할 컷에서 $h_i = i$ 인 영역은 $\frac{4}{3}$의 근사 비율로 근사 가능하며, 이는 초그래프 다중분할 문제에 대한 기존 결과와 일치한다.
• 다양한 열린 질문들이 남아 있으며, 특히 NES-HyperCut의 복잡도와 그래프 감소 가능성 없이도 여전히 가용한 비하위모듈라 분할 함수의 존재 여부가 남아 있다.