[논문 리뷰] Hypersurfaces with small extrinsic radius or large $\\lambda_1$ in Euclidean spaces

Erwann Aubry, Jean-François Grosjean외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 09. 10.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 15인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{R}^{n+1}$ 안의 초표면이 Reilly 또는 Hasanis-Koutroufiotis 부등식에 대해 거의 극값이 되는 경우—즉, 외재적 반경이 작거나 첫 번째 고유값 $\lambda_1$ 이 크면—그 평균 곡률이 $p>n$ 인 $L^p$로 유계이면, 거리적으로 및 스펙트럼적으로 구와 가까워진다. 추가로 두 번째 기본형식에 대해 $q>n$ 인 $L^q$ 유계 조건이 있으면 리프시츠 거리로도 구와 가까워지지만, $q\leq n$ 이면 일반적으로 구와 미분형식으로 일치하지는 않는다. 이러한 결과는 스펙트럼적 및 기하학적 핀칭 조건 하에서 구 유사 초표면의 안정성 정리들을 일반화한다.

ABSTRACT

We prove that hypersurfaces of $\\R^{n+1}$ which are almost extremal for the Reilly inequality on $\\lambda_1$ and have $L^p$-bounded mean curvature ($p>n$) are Hausdorff close to a sphere, have almost constant mean curvature and have a spectrum which asymptotically contains the spectrum of the sphere. We prove the same result for the Hasanis-Koutroufiotis inequality on extrinsic radius. We also prove that when a supplementary $L^q$ bound on the second fundamental is assumed, the almost extremal manifolds are Lipschitz close to a sphere when $q>n$, but not necessarily diffeomorphic to a sphere when $q\\leqslant n$.

연구 동기 및 목표

• Reilly 또는 Hasanis-Koutroufiotis 부등식에서 거의 등호를 만족하는 $\mathbb{R}^{n+1}$ 안의 초표면의 기하학적 및 스펙트럼적 안정성을 조사한다.
• 이러한 초표면이 Gromov-Hausdorff, 리프시츠 또는 스펙트럼적 의미에서 구에 얼마나 가까운지 결정하기 위한 곡률 적분 조건을 규명한다.
• 평균 곡률에 대한 $L^p$-유계 및 두 번째 기본형식에 대한 $L^q$-유계를 통합함으로써 이전의 안정성 결과를 확장한다.
• 거의 극값 초표면의 점근적 스펙트럼 행동을 분석하고, 표준 구의 스펙트럼으로 수렴함을 보인다.

제안 방법

• 극값 초표면이 구임을 특징짓기 위한 중심 도구로 Reilly 부등식 $\lambda_1 \leq n\|H\|_2^2$ 과 Hasanis-Koutroufiotis 부등식 $\|H\|_2 R_{\text{ext}} \geq 1$ 를 사용한다.
• 평균 곡률 및 기하 양의 $L^p$-노름에 기반한 근접 극값 상태를 정량화하기 위해 핀칭 조건 $(P_{p,\varepsilon})$, $(R_{p,\varepsilon})$, $(\Lambda_{p,\varepsilon})$ 을 도입한다.
• 모스어 반복과 소볼레프 부등식을 적용하여 고유함수의 $L^\infty$ 노름을 제어하고, 이를 스펙트럼 및 곡률 유계와 연결한다.
• 거의 구 유사 초표면의 기하를 모델링하기 위해 근사 도메인 $\Omega_{i,\eta,\varepsilon}$ 의 수열을 구성하고, 컷오프 함수 $\psi_\varepsilon$ 를 사용하여 원래 다각체 위의 $L^2$-노름을 근사 도메인 위의 노름과 연결한다.
• 최소-최대 원리를 사용하여 원래 초표면의 고유값과 근사 도메인의 고유값을 비교함으로써 $\varepsilon \to 0$ 일 때 스펙트럼 수렴을 증명한다.
• 국소 차트에서 $y \mapsto y^d$ 를 통한 커버링 구성 기법을 활용하여 이중 구 유사 스펙트럼을 가진 수열을 생성하고, $q \leq n$ 일 때는 미분형식으로 일치하지 않지만 스펙트럼 수렴하는 예를 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Reilly 부등식에서의 근접 극값 상태($\lambda_1 \approx n\|H\|_2^2$)는 어떤 조건에서 초표면이 Gromov-Hausdorff 또는 리프시츠 위상에서 구에 가까운가?
• RQ2 평균 곡률에 대한 $L^p$-유계($p>n$)와 두 번째 기본형식에 대한 $L^q$-유계($q>n$)는 거의 극값 초표면의 거리 및 스펙트럼 안정성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 거의 극값 초표면은 하우스도르프 또는 리프시츠 거리에서 구에 가까워도, 구와 미분형식으로 일치하지 않을 수 있는가? 만약 그렇다면, 어떤 곡률 적분 조건에서 그러한 일이 발생하는가?
• RQ4 핀칭 매개수 $\varepsilon \to 0$ 일 때, 거의 극값 초표면의 스펙트럼이 표준 구의 스펙트럼으로 얼마나 수렴하는가?
• RQ5 두 번째 기본형식의 $L^q$-노름은 초표면이 구와 미분형식으로 일치하는지 여부를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 모든 $q>n$ 에 대해, 평균 곡률에 대한 $L^p$-유계($p>2$)와 두 번째 기본형식에 대한 $L^q$-유계는 거의 극값 초표면이 반경 $1/\|H\|_2$ 인 구와 $C\varepsilon^\alpha$-Hausdorff 거리로 가까워짐을 의미하며, 여기서 $\alpha = \alpha(q,n)$ 이다.
• 이러한 초표면의 평균 곡률은 모든 $r \in [1,q)$ 에 대해 $L^r$-노름에서 거의 일정하며, $\||H| - \|H\|_2\|_r \leq C\varepsilon^\beta\|H\|_2$ 를 만족한다. 여기서 $\beta = \alpha(q-r)/(r(q-1))$ 이다.
• 임의의 고정된 반경 $r>0$ 에 대해, 근사 구 위에 중심을 둔 반경 $r/\|H\|_2$ 인 구의 부피는 상대 오차 $\eta$ 이내에서 해당 구의 캡 부피로 균일하게 수렴한다.
• $q>n$ 이면 초표면은 리프시츠 거리로 구와 가까워지지만, $q\leq n$ 이면 초표면이 구와 미분형식으로 일치하지 않을 수 있다. 이는 하우스도르프 거리로는 가까워도 성립하지 않는다.
• 거의 극값 초표면에서 라플라스 연산자의 스펙트럼은 점근적으로 표준 구의 스펙트럼을 포함하며, $\varepsilon \to 0$ 일 때 고유값이 $\mathbb{S}^n$ 의 고유값으로 수렴한다.
• 국소 차트에서 $y \mapsto y^d$ 를 통한 구성 기법은 두 개의 분리된 $\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^{n-2} \times [0,\pi/2]$ 의 스펙트럼을 수렴하는 초표면 수열을 생성하며, 이는 $q\leq n$ 일 때 스펙트럼 수렴이 초표면이 구와 미분형식으로 일치하지 않음을 보여준다.