[논문 리뷰] Δ(i)/GI/1: A New Queueing Model For Transitory Queueing Systems

Harsha Honnappa, Rahul Jain외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 06. 04.

Advanced Queuing Theory Analysis참고 문헌 34인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 도착이 분포 F에서 i.i.d. 표본으로 이루어지고, 이를 바탕으로 순서통계량을 형성하는 전이 시스템을 위한 새로운 모델인 Δ(i)/GI/1 큐를 제안한다. 스코로호드 반사와 브라운 운동 브리지 과정을 이용해 유체 및 확산 극한을 수립하며, M1 위상에서의 약한 수렴은 확인되나 J1 위상에서는 불가능함을 보이며, 자유, 반사, 영 과정 간의 제어 모드 전환이 발생한다.

ABSTRACT

We introduce the {\Delta}(i)/GI/1 queue, a new queueing model. In this model, customers from a given population independently sample a time to arrive from some given distribution F. Thus, the arrival times are an ordered statistics, and the inter-arrival times are differences of consecutive ordered statistics. They are served by a single server which provides service according to a general distribution G, with independent service times. The exact model is analytically intractable. Thus, we develop fluid and diffusion limits for the various stochastic processes, and performance metrics. The fluid limit of the queue length is observed to be a reflected process, while the diffusion limit is observed to be a function of a Brownian motion and a Brownian bridge process, and is given by a 'netput' process and a directional derivative of the Skorokhod reflected fluid netput in the direction of a diffusion refinement of the netput process. We also observe what may be interpreted as a transient Little's law. Sample path analysis reveals various operating regimes where the diffusion limit switches between a free diffusion, a reflected diffusion process and the zero process, with possible discontinuities during regime switches. The weak convergence is established in the M1 topology, and it is also shown that this is not possible in the J1 topology.

연구 동기 및 목표

• 도착 시간이 분포 F에서 i.i.d. 표본으로 이루어지고 이를 바탕으로 순서통계량을 형성하는 전이 큐잉 시스템을 모델링하기.
• 해석적으로 접근이 어려운 이러한 시스템에서 큐 길이 및 성능 지표의 확률적 행동을 분석하기.
• 큐잉 과정에 대한 유체 및 확산 극한을 개발하여 일시적 동역학을 포착하기.
• M1 위상에서의 약한 수렴을 수립하고, J1 위상에서는 이를 이룩할 수 없음을 보여주기.
• 자유 확산, 반사 확산, 영 과정 간에 전환되는 운영 제어 모드에서의 확산 극한을 식별하기.

제안 방법

• 도착을 분포 F에서 i.i.d. 표본으로 모델링하여 도착 시간이 순서통계량이 되도록 한다.
• 연속된 순서통계량 간의 차이를 간격 도착 시간으로 정의한다.
• 일반적인 서비스 시간 분포 G를 가진 단일 서버 큐를 사용하며, 고객 간에 독립적이다.
• 스코로호드 반사 덕분에 큐 길이 과정의 유체 극한을 반사 과정으로 도출한다.
• 확산 극한을 브라운 운동과 브라운 운동 브리지의 함수로 표현하며, 스코로호드로 반사된 유체 순수유입의 방향 도함수를 포함한다.
• M1 위상에서의 약한 수렴을 증명하며, 제어 모드 전환 시 경로적 불연속성으로 인해 J1 위상에서는 실패함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 i.i.d. 도착 시간이 분포 F에서 유래하고 간격 도착 시간이 순서통계량의 차이로 이루어지는 큐잉 시스템은 어떻게 모델링할 수 있는가?
• RQ2 이러한 시스템에서 큐 길이 과정의 유체 및 확산 극한은 무엇인가?
• RQ3 확산 극한은 자유, 반사, 영 과정 간 전환 시에 어떻게 행동하는가, 특히 전환점에서의 특성은?
• RQ4 왜 이 모델에서는 M1 위상에서 약한 수렴이 성립하지만 J1 위상에서는 성립하지 않는가?
• RQ5 이 큐잉 시스템의 표본 경로 분석으로부터 일시적 리틀의 법칙을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 큐 길이 과정의 유체 극한은 스코로호드 반사 덕분에 반사 과정이며, 비음성 제약 조건을 반영한다.
• 확산 극한은 브라운 운동과 브라운 운동 브리지의 함수로 표현되며, 순수유입과 경로적 정밀도의 복합적 영향을 반영한다.
• 확산 극한은 자유 확산, 반사 확산, 영 과정 간에 제어 모드 전환을 보이며, 전환점에서 불연속성이 발생할 수 있다.
• M1 위상에서는 수렴이 성립하지만, J1 위상에서는 경로적 불연속성으로 인해 실패한다.
• 표본 경로 분석을 통해 일시적 리틀의 법칙이 관찰되며, 시스템 내 용량과 순수유입 및 서비스 특성 간의 관계를 연결한다.