[논문 리뷰] ICTP Lectures on (Non-)Invertible Generalized Symmetries

Sakura Schäfer‐Nameki|arXiv (Cornell University)|2023. 05. 29.

Noncommutative and Quantum Gravity Theories인용 수 20

한 줄 요약

일반화된 전역 대칭을 도입하고, d≥3 QFT에서의 비가역 대칭에 초점을 맞추며, TQFT와의 적층(stack)으로의 구성, theta-defects, condensation defects, 그리고 Symmetry TFT 프레임워크를 다룬다.

ABSTRACT

What comprises a global symmetry of a Quantum Field Theory (QFT) has been vastly expanded in the past 10 years to include not only symmetries acting on higher-dimensional defects, but also most recently symmetries which do not have an inverse. The principle that enables this generalization is the identification of symmetries with topological defects in the QFT. In these lectures, we provide an introduction to generalized symmetries, with a focus on non-invertible symmetries. We begin with a brief overview of invertible generalized symmetries, including higher-form and higher-group symmetries, and then move on to non-invertible symmetries. The main idea that underlies many constructions of non-invertible symmetries is that of stacking a QFT with topological QFTs (TQFTs) and then gauging a diagonal non-anomalous global symmetry. The TQFTs become topological defects in the gauged theory called (twisted) theta defects and comprise a large class of non-invertible symmetries including condensation defects, self-duality defects, and non-invertible symmetries of gauge theories with disconnected gauge groups. We will explain the general principle and provide numerous concrete examples. Following this extensive characterization of symmetry generators, we then discuss their action on higher-charges, i.e. extended physical operators. As we will explain, even for invertible higher-form symmetries these are not only representations of the $p$-form symmetry group, but more generally what are called higher-representations. Finally, we give an introduction to the Symmetry Topological Field Theory (SymTFT) and its utility in characterizing symmetries, their gauging and generalized charges. Lectures prepared for the ICTP Trieste Spring School, April 2023.

연구 동기 및 목표

• 일반화된 전역 대칭을 QFT의 위상 연산자로 정의하고 소개한다.
• 가역 및 비가역 대칭 구조를 퍼짐 규칙 및 고차 카테고리 언어를 포함하여 설명한다.
• d=2, d=3, d=4에서의 비가역 대칭의 구성은 TQFT의 적층 및 게이징을 통해 제시한다.
• theta-defects, condensation defects, 고차원 대칭 작용의 개념을 도입한다.
• Symmetry Topological Field Theory(SymTFT)를 대칭 및 일반화된 전하를 인코딩하는 프레임워크로 제시한다.

제안 방법

• 다양한 차수의 위상 연산자로서의 대칭과 그 융합 규칙을 기술한다.
• 고차 형식 대칭 및 0-형 대칭의 게이징 및 비가역 구조가 어떻게 등장하는지 논의한다.
• theta-defects를 생성하기 위해 게이징 전 TQFT와의 적층을 이용한다.
• 비가역 대칭 생성을 위한 구체적인 예로 2d RCFTs와 3d–4d 게이즈 이론을 사용한다.
• 위상 결함의 층 구조와 그에 따른 융합 고차 범주 프레임워크를 도입한다.
• 다차원에서 대칭과 일반화된 전하를 정리하는 도구로서 SymTFT(d+1)을 제시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정층 적층 및 게이징을 통해 고차원 QFT에서 비가역 대칭은 어떻게 나타나는가?
• RQ2 theta-defects와 condensation defects가 비가역 대칭 생성에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 고차 형식 대칭 및 고차 그룹 대칭을 그룹형 구조를 넘어 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ4 대칭과 일반화된 전하를 인코딩하는 데 Symmetry Topological Field Theory의 유용성은 무엇인가?

주요 결과

• 비가역 대칭은 이론을 TQFT와 적층하고 대각 대칭을 게이징함으로써 theta-defects를 만들어 생성될 수 있다.
• theta-defects는 비가역 융합 관계를 보이며, 예를 들어 D2(Z2) ⊗ D2(Z2) = 2 D2(Z2) in 3d 예에서 나타난다.
• Condensation defects는 theta-defects와 동등하며 비가역 대칭을 위한 보편적 메커니즘을 제공한다.
• 비가역 대칭은 2d RCFTs, 고차원 게이지 이론, 그리고 분리된 게이지 그룹을 가진 QFT에서도 존재한다.
• 일반화된 대칭의 고차 전하에 대한 작용은 단순한 그룹 표현이 아니라 고차 표현 범주를 포함한다.
• SymTFT는 차원에 관계없이 대칭과 일반화된 전하를 인코딩하는 보편적 프레임워크를 제공한다.