[논문 리뷰] Identification of noncausal Ito processes from the stochastic Fourier coefficients II

Shigeyoshi Ogawa, Hideaki Uemura|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 31.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 3인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비인과 Itô 과정의 확산 계수 $ a(t,\omega) $와 확산 계수 $ b(t,\omega) $가 그의 확률적 푸리에 계수(SFCs)로부터 식별 가능한 조건을 설정한다. 보르의 콘볼루션 방법과 말리아빈 미적분을 사용하여, 확산 계수 $ a(t,\omega) \in \mathcal{L}^{2,2} $ 이고, 확산 항 $ b(t,\omega) \in \mathcal{L}^{2,1} $ 이면, $ dX_t = b(t,\omega)dt + a(t,\omega)dW_t $ 의 SFCs로부터 전체 과정이 재구성 가능하다는 것을 증명한다. 이는 이전의 인과적 및 비인과적 위너 함수계에 대한 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

We consider the identification problem of a noncausal Ito process from its stochastic Fourier coefficients with respect to the complete system of trigonometric functions. Here, a noncausal Ito process is the extension of Ito process whose diffusion and drift terms are assumed to be noncausal. If noncausal Ito processes are defined through Skorokhod integral, then authors obtained the affirmative answer in the previous article (Ogawa & Uemura,2014). In this note we generalize our result. We assume both diffusion and drift terms belong to the Watanabe space and identify the noncausal Ito process from its stochastic Fourier coefficients in the framework of Malliavin calculus.

연구 동기 및 목표

• 비인과적 확률 과정의 재구성 기법을 위너 함수계를 넘어서 전체 비인과적 Itô 과정으로 확장한다.
• 비인과적 Itô 과정의 SFCs로부터 확산 항과 확산 계수를 구분하는 데 도전하는 문제를 다룬다.
• SFCs를 통한 식별을 위한 $ a(t,\omega) $와 $ b(t,\omega) $에 대한 충분한 정규성 조건을 설정한다.
• 이전의 인과적 및 비인과적 위너 함수계에 대한 결과를 더 넓은 범위의 비인과적 Itô 과정 클래스로 일반화한다.

제안 방법

• 차분 $ dX_t = b(t,\omega)dt + a(t,\omega)dW_t $ 의 확률적 푸리에 계수(SFC)를 정의한다: $ \mathcal{F}_n(dX) = \int_0^1 \overline{\varphi_n(t)} dX_t $.
• 보르의 콘볼루션 방법을 적용하여 SFCs로부터 $ a(t,\omega) $와 $ b(t,\omega) $의 기여를 분리한다.
• 비적응 과정을 다루기 위해 말리아빈 미적분, 특히 스코로호드 적분과 확률 미분 $ D_s a(t,\omega) $ 를 활용한다.
• 정규성 조건을 도입한다: $ a(t,\omega) \in \mathcal{L}^{2,2} $, $ b(t,\omega) \in \mathcal{L}^{2,1} $, 이는 고차수 말리아빈 미분의 존재를 보장한다.
• 확산 계수 $ a(t,\omega) $ 의 푸리에 계수를 복구하기 위해 SFCs의 보르 곱의 $ L^2(\Omega) $-극한을 포함하는 핵심 항등식을 유도한다.
• 가중치가 부여된 소볼레프 공간 $ \mathbb{D}_p^{\alpha} $ 내의 쌍대성과 동형사상 관계를 이용하여 말리아빈 미적분 프레임워크 내에서 적분과 미분의 순서 교환을 정당화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비인과적 Itô 과정의 확산 계수와 확산 항이 그의 확률적 푸리에 계수로부터 유일하게 재구성될 수 있는가?
• RQ2 이러한 식별이 가능한 $ a(t,\omega) $와 $ b(t,\omega) $에 대한 정규성 조건는 무엇인가?
• RQ3 비적응 계수를 가진 비인과적 Itô 과정에 대해 보르의 콘볼루션 방법을 어떻게 적응시킬 수 있는가?
• RQ4 재구성 방법은 다양한 옥시몰로지 기저 $ \{\varphi_n\} $ 에 대해 안정적인가, 아니면 삼각기저가 반드시 필요한가?
• RQ5 조건 (A) 를 만족하는 일반적인 옥시몰로지 체계로 이 방법을 삼각기저를 초월해 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 확산 계수 $ a(t,\omega) $ 의 푸리에 계수 $ \tilde{a}_n $ 은 SFCs의 보르 곱의 $ L^2(\Omega) $-극한을 통해 복구된다.
• 복구 과정은 $ a(t,\omega) \in \mathcal{L}^{2,2} $ 와 $ b(t,\omega) \in \mathcal{L}^{2,1} $ 의 조건 하에서 유효하며, 이는 충분한 말리아빈 정규성을 보장한다.
• 일旦 $ \tilde{a}_n $ 이 복구된 후, 계수 $ \tilde{b}_n $ 는 $ \tilde{b}_n = \mathcal{F}_n(dX) - \mathcal{F}_n(a) $ 로 얻어져 $ b(t,\omega) $ 의 전체 재구성이 가능해진다.
• 이 방법은 가중치가 부여된 소볼레프 공간 $ \mathbb{D}_p^{\alpha} $ 내의 쌍대성에 의존하여 적분과 미분의 순서 교환을 엄밀히 정당화한다.
• 증명은 $ \int_0^1 D_t(\int_0^1 b(s,\omega)ds)e(t)dt = \int_0^1 \int_0^1 D_t b(s,\omega)e(t)dtds $ 를 $ \mathbb{D}_{p}^{\alpha-1}(\mathbb{C}) $ 내에서 확립한다. 이는 핵심 기술적 항등식이다.
• 결과는 이전의 인과적 및 비인과적 위너 함수계에 대한 연구를 전체 비인과적 Itô 과정 프레임워크로 일반화한다.