[论文解读] Identity Types in Algebraic Model Structures and Cubical Sets

Andrew Swan|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文通过利用纤维化-平凡纤维化分解，提出了一种在代数模型结构和立方集中概念清晰的、函子性的同伦等价类型构造。它表明，同伦等价类型可基于一个最小的lawfs构造，无需使用超限构造，从而避免了复杂的连贯性结果，并在CCHM立方集模型中提供了直接证明。

ABSTRACT

We give a general technique for constructing a functorial choice of very good paths objects, which can be used to implement identity types in models of type theories in direct manner with little reliance on general coherence results. We give a simple proof that applies in algebraic model structures that possess a notion of structured weak equivalence, in a sense that we define here. We then give a more direct proof that applies both to the original BCH cubical set model and more recent variants. We give an explanation how this construction relates to the one used in the CCHM cubical set model of type theory.

研究动机与目标

• 在代数模型结构中提供一种概念清晰且直接的同伦等价类型构造证明。
• 通过使用函子性选择的优良路径对象，消除对复杂连贯性结果的依赖。
• 表明在立方集中，同伦等价类型仅需一个简化且非超限的awfs构造即可实现。
• 阐明CCHM立方集模型与底层代数模型结构之间的关系。
• 证明该构造在立方集模型的原始版本和现代变体中均适用。

提出的方法

• 本文使用纤维化-平凡纤维化分解，在代数模型结构中构造优良路径对象。
• 引入一个最小的lawfs (C₁, Fᵗ₁)，其代数自由性基于更简单的结构，避免了超限构造。
• 通过自然变换μ使Fᵗ₁成为单子，从而为路径对象分配纤维化结构。
• 利用代数自由性，将C₁-余代数和Fᵗ₁-代数结构提升至完整的awfs (C, Fᵗ)。
• 该方法适用于原始BCH立方集模型及现代变体，包括CCHM。
• 证明依赖于一个函子性分解，确保同伦等价类型具有良好的行为并具有计算意义。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在不依赖一般连贯性定理的前提下，在代数模型结构中构造同伦等价类型？
• RQ2 在立方集中，是否存在一种更简单、非超限的同伦等价类型构造？
• RQ3 CCHM立方集模型中的同伦等价类型构造与底层代数模型结构之间有何关系？
• RQ4 能否使用最小的lawfs (C₁, Fᵗ₁) 来定义优良路径对象的函子性选择？
• RQ5 Fᵗ₁上的单子结构μ在同伦等价类型构造中起到什么作用？

主要发现

• 本文通过最小awfs (C₁, Fᵗ₁) 提供了一种直接且函子性的优良路径对象构造，避免了超限迭代。
• 该构造在原始BCH立方集模型和更近期的变体（包括CCHM）中均适用。
• 它确立了CCHM立方集模型中同伦等价类型构造自然源于 (C, Fᵗ) 对 (C₁, Fᵗ₁) 的代数自由性。
• Fᵗ₁上存在单子结构μ，使得能函子性地为路径对象分配平凡纤维化结构。
• 证明表明J-计算规则在定义等价意义下成立，解决了早期立方模型中的一个已知问题。
• 该方法通过消除复杂连贯性机制的需求，简化了CCHM构造，提供了更清晰的概念基础。