[논문 리뷰] Ill-posedness for the Navier-Stokes equations in critical Besov spaces $\dot B^{-1}_{\infty,q}$

Baoxiang Wang|arXiv (Cornell University)|2014. 03. 11.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 24인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 $1 \leq q \leq 2$ 인 임계 베소프 공간 $\dot{B}^{-1}_{\infty,q}$ 에서 압축성 없음 나비에-스토크스 방정식의 부적절성을 입증한다. 이는 임의로 작은 초기 자료에 대해 해 매핑이 원점에서 불연속임을 보여줌으로써 이루어지며, 더 큰 공간 $BMO^{-1}$ 에서의 전역 적합성에도 불구하고 $\dot{B}^{-1}_{\infty,q}$ 에서는 통제할 수 없는 성장이 발생할 수 있음을 드러낸다. 이는 이 임계 척도 불변 공간에서의 근본적인 불안정성을 보여준다.

ABSTRACT

We study the Cauchy problem for the incompressible Navier-Stokes equation \begin{align} u_t -Δu+u\cdot abla u + abla p=0, \ \ { m div} u=0, \ \ u(0,x)= δu_0. \label{NS} \end{align} For arbitrarily small $δ>0$, we show that the solution map $δu_0 o u$ in critical Besov spaces $\dot B^{-1}_{\infty,q}$ ($\forall \ q\in [1,2]$) is discontinuous at origin. It is known that the Navier-Stokes equation is globally well-posed for small data in $BMO^{-1}$. Taking notice of the embedding $\dot B^{-1}_{\infty,q} \subset BMO^{-1}$ ($q\le 2$), we see that for sufficiently small $δ>0$, $u_0\in \dot B^{-1}_{\infty,q} $ ($q\le 2$) can guarantee that the Navier-Stokes equation has a unique global solution in $BMO^{-1}$, however, this solution is instable in $ \dot B^{-1}_{\infty,q} $ and the solution can have an inflation in $\dot B^{-1}_{\infty,q}$ for certain initial data. So, our result indicates that two different topological structures in the same space may determine the well and ill posedness, respectively.

연구 동기 및 목표

• 압축성 없음 나비에-스토크스 방정식의 임계 베소프 공간 $\dot{B}^{-1}_{\infty,q}$ 에서의 적합성 문제를 조사한다. $1 \leq q \leq 2$.
• 전역 적합성이 $BMO^{-1}$ 에서 성립할 경우, 더 작은 공간 $\dot{B}^{-1}_{\infty,q}$ 에서의 안정성이 보장되는지 여부라는 열린 문제를 해결한다.
• 작은 초기 자료에 대해 해 매핑 $\delta u_0 \to u$ 가 $\dot{B}^{-1}_{\infty,q}$ 에서 $\delta = 0$ 에서 불연속임을 보여준다.
• 동일한 방정식에 대해 동일한 함수 공간 내에서 서로 다른 위상적 구조가 적합성과 부적합성 결과를 초래할 수 있음을 명확히 한다.

제안 방법

• 임의로 작은 $\delta > 0$ 에 대해 $\|u_0\|_{\dot{B}^{-1}_{\infty,q}} \lesssim 1$ 인 초기 자료 $\delta u_0$ 의 가족을 구성한다.
• 나비에-스토크스 방정식의 적분 표현을 사용하여 해 $u(\delta,t)$ 의 진화를 분석한다: $u(t) = e^{t\Delta}u_0 + \int_0^t e^{(t-\tau)\Delta}\mathbb{P}\textrm{div}(u\otimes u)(\tau)d\tau$.
• 주파수 국소화와 리틀우드-파일리 분해를 사용하여 $t \leq 1/N$ 인 짧은 시간 동안 $\|u(\delta,t)\|_{\dot{B}^{-1}_{\infty,q}}$ 의 성장을 추정한다.
• 비선형 항 $\partial_1 - \partial_2$ 가 $u_0 \otimes u_0$ 에 작용할 때, $\dot{B}^{-1}_{\infty,q}$ 에서는 $O(k^{1/q})$ 의 속도로 성장하는 성분을 생성하며, 이는 $\dot{F}^{-1}_{\infty,q}$ 에서는 작게 유지됨을 이용한다.
• $\dot{B}^{-1}_{\infty,q}$ 와 $BMO^{-1} = \dot{F}^{-1}_{\infty,2}$ 의 행동을 비교하여, 주파수 국소화된 성분이 $BMO^{-1}$ 에서는 상호간에 간섭하지 않지만, 베소프 공간에서는 간섭하여 성장함을 보여준다.
• $\dot{B}^{-1}_{\infty,q} \subset BMO^{-1}$ 와 $BMO^{-1}$ 에서의 전역 적합성에 기반하여, 더 작은 공간에서의 불안정성을 분리한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 나비에-스토크스 방정식의 해 매핑은 임계 베소프 공간 $\dot{B}^{-1}_{\infty,q}$ 에서 $1 \leq q \leq 2$ 에 대해 연속적인가?
• RQ2 전역 적합성이 $BMO^{-1}$ 에서 성립할 경우, 더 작은 공간 $\dot{B}^{-1}_{\infty,q}$ 에서의 안정성이 보장되는가?
• RQ3 $BMO^{-1}$ 에서는 작지만 $\dot{B}^{-1}_{\infty,q}$ 에서는 통제할 수 없는 성장이 발생하는 원인은 무엇인가?
• RQ4 $\dot{B}^{-1}_{\infty,q}$ 와 $\dot{F}^{-1}_{\infty,q}$ 에서 주파수 국소화된 성분의 상호작용 방식은 어떻게 다를까?
• RQ5 작은 초기 자료에 대해 $\dot{B}^{-1}_{\infty,q}$ 에서의 해 노름의 정량적 성장률은 정확히 얼마인가?

주요 결과

• 모든 $n \geq 2$ 와 $1 \leq q \leq 2$ 에 대해, $\delta u_0 \to u(\delta,t)$ 의 해 매핑은 $\dot{B}^{-1}_{\infty,q}(\mathbb{R}^n)$ 에서 $\delta = 0$ 에서 불연속이다.
• 임의의 $N \gg 1$ 에 대해, $\|u_0\|_{\dot{B}^{-1}_{\infty,q}} \lesssim 1$ 인 초기 자료 $u_0 \in \dot{B}^{-1}_{\infty,q}$ 가 존재하여, $t \leq 1/N$ 에 대해 $\|u(\delta,t)\|_{\dot{B}^{-1}_{\infty,q}} \geq (\log N)^{1/2q}$ 임을 보여준다.
• 비선형 항 $\partial_1 - \partial_2$ 가 $u_0 \otimes u_0$ 에 작용할 때, $\dot{B}^{-1}_{\infty,q}$ 에서는 $O(k^{1/q})$ 의 속도로 성장하는 성분을 기여하며, 이는 불안정성의 원인이다.
• 반대로, 동일한 항은 $t \leq 2^{-2k}$ 에 대해 $\dot{F}^{-1}_{\infty,q}$ 에서는 $O(\varepsilon)$ 이하로 유계이다. 이는 해가 $BMO^{-1}$ 에서는 여전히 작다는 것을 의미한다.
• 결과적으로, 동일한 함수 공간 내에서 서로 다른 위상적 구조가 동일한 방정식에 대해 적합성과 부적합성 결과를 초래할 수 있음을 보여주며, 나비에-스토크스 시스템이 노름 선택에 매우 민감함을 강조한다.
• 불안정성은 모든 $q \in [1, \infty)$ 에서 지속되며, 본 논문은 $q \in [1,2]$ 에 대해 직접적으로 증명하고, $q > 2$ 에 대해서는 결과가 확장됨을 언급한다.