[논문 리뷰] Implicit and semi-implicit second-order time stepping methods for the Richards equation

Sana Keita, Abdelaziz Beljadid외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 05. 11.

Numerical methods for differential equations인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 포화도와 압력 높이를 주요 변수로 사용하는 혼합 유한요소를 이용한 리처드스 방정식에 대해 2차 정확도를 갖는 반음성 시간 이산화 방법을 제안한다. 이 방법은 시간 외삽과 반음성 테일러 근사법을 활용하여 비선형 항을 선형화하여 높은 정확도와 강건성을 달성한다; 수치 결과는 반음성 $(S,\psi)$-스킴이 정확도, 효율성, 수렴 안정성 측면에서 암시적 방법과 다른 혼합 형식보다 뛰어남을 보여준다.

ABSTRACT

This study concerns numerical methods for efficiently solving the Richards equation where different weak formulations and computational techniques are analyzed. The spatial discretizations are based on standard or mixed finite element methods. Different implicit and semi-implicit temporal discretization techniques of second-order accuracy are studied. To obtain a linear system for the semi-implicit schemes, we propose second-order techniques using extrapolation formulas and/or semi-implicit Taylor approximations for the temporal discretization of nonlinear terms. A numerical convergence study and a series of numerical tests are performed to analyze efficiency and robustness of the different schemes. The developed scheme, based on the proposed temporal extrapolation techniques and the mixed formulation involving the saturation and pressure head and using the standard linear Lagrange element, performs better than other schemes based on the saturation and the flux and using the Raviart-Thomas elements. The proposed semi-implicit scheme is a good alternative when implicit schemes meet convergence issues.

연구 동기 및 목표

• 리처드스 방정식에 대해 2차 정확도를 갖는 효율적이고 강건한 시간 적분 스킴을 개발하기.
• 토양 수리 특성에서 강한 비선형성으로 인해 암시적 방법에서 발생하는 수렴 문제를 해결하기.
• 포화도 전용, 포화도-유량, 포화도-압력 높이 형식의 다양한 약한 형식 간 성능 비교하기.
• 실제 시뮬레이션에서 반음성 스킴과 완전 암시적 스킴의 효율성과 강건성 평가하기.
• 다양한 물성 조건을 가진 정확한 해와 벤치마크 시험 케이스를 이용해 제안된 스킴 검증하기.

제안 방법

• 포화도와 압력 높이에 대해 선형 라그랑주 요소를 사용하는 혼합 유한요소 방법을 적용한다.
• 비선형 항에 대해 시간 외삽 공식과 반음성 테일러 근사법을 활용하여 2차 시간 이산화를 수행한다.
• 각 시간 단계에서 비선형 시스템을 풀지 않기 위해 시간 외삽을 사용하여 시스템을 선형화한다.
• 포화도가 1에 가까워질 경우의 비가역성을 방지하기 위해 정규화(식 3.2)를 적용한다.
• 안정성을 향상시키기 위해 질량 럼핑을 적용한 표준 반복 해법을 사용하여 유도된 선형 시스템을 푼다.
• 다양한 시간 간격과 메쉬 크기를 가진 정렬 및 비정렬 메쉬에서 스킴을 시험한다.

Figure 1: Test case without regularization of the Leverett $J$ -function: Profile of the manufactured solution ( 5.1 ) at different times for $c=-41.1$ .

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2차 반음성 시간 스킴은 리처드스 방정식에 대해 1차 암시적 스킴보다 정확도와 효율성을 향상시킬 수 있는가?
• RQ2 포화도 전용(S-only), 포화도-유량(S-q), 포화도-압력 높이(S-ψ) 형식 간의 수렴 속도, 정확도, 계산 비용 측면에서 성능 비교는 어떠한가?
• RQ3 제안된 반음성 $(S,\psi)$-스킴은 뉴턴 타입 해법에서 흔히 발생하는 수렴 실패를 피하면서도 2차 정확도를 유지하는가?
• RQ4 특히 모세관 압력 함수가 비가역성이 발생할 때, 포화 상태에서의 스킴 성능은 어떠한가?
• RQ5 메쉬 정밀도 향상과 시간 간격 크기 변화가 $(S,\psi)$-스킴의 수렴 행동에 미치는 영향은 어떠한가?

주요 결과

• 반음성 $(S,\psi)$-스킴은 시간에 대해 2차 정확도를 달성하며, 다른 스킴에 비해 뛰어난 수렴 행동을 보인다.
• 포화도 $S_h$의 $L^2$-오차 수렴 속도는 약 $k=1.8$이며, 압력 높이 $\psi_h$의 경우 $k=1.3$이다.
• 압력 높이의 오차는 포화도 오차보다 약 70배 크며, 이는 압력 근사에서 더 높은 민감도를 나타낸다.
• 암시적 $(S,\psi)$-스킴은 정확도를 유지하면서도 1차 방법보다 더 큰 시간 간격을 허용한다.
• 비선형성이 뉴턴 반복에서 수렴 실패를 유발할 경우, 반음성 $(S,\psi)$-스킴은 암시적 스킴보다 더 강건하다.
• 모든 시험 케이스에서 $(S,\psi)$-스킴은 $S$-스킴과 $(S,\bm{q})$-스킴보다 정확도와 계산 효율성 측면에서 뛰어나다.

Figure 2: Manufactured solution — Test case without regularization of the Leverett $J$ -function: $L^{2}$ - and $H^{1}$ -error on $S_{h}$ and $\psi_{h}$ as a function of the mesh size $h$ for each scheme with respect to the manufactured solution ( 5.1 ) for $c=-41.1$ .