[논문 리뷰] Improved Pseudorandom Generators from Pseudorandom Multi-Switching Lemmas.

Rocco A. Servedio, Li-Yang Tan|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 01.

Cryptography and Data Security인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 두 가지 근본적인 디랜덤화 클래스인 $\text{AC}^0$ 회로와 희박한 $\bbF_2$ 다항식을 위한 최적의 가짜난수 생성기(PRGs)를 제안하며, 새로운 가짜난수 다중스위칭 렘마를 사용한다. PRGs는 완전한 난수로부터 확보된 최고의 기준과 동일한 시드 길이를 달성하며, 이는 향후 향상이 가능하려면 주요 회로 하향계수의 돌풍적 돌파가 필요하다는 것을 시사한다.

ABSTRACT

We give the best known pseudorandom generators for two touchstone classes in unconditional derandomization: an $\varepsilon$-PRG for the class of size-$M$ depth-$d$ $\mathsf{AC}^0$ circuits with seed length $\log(M)^{d+O(1)}\cdot \log(1/\varepsilon)$, and an $\varepsilon$-PRG for the class of $S$-sparse $\mathbb{F}_2$ polynomials with seed length $2^{O(\sqrt{\log S})}\cdot \log(1/\varepsilon)$. These results bring the state of the art for unconditional derandomization of these classes into sharp alignment with the state of the art for computational hardness for all parameter settings: improving on the seed lengths of either PRG would require breakthrough progress on longstanding and notorious circuit lower bounds. The key enabling ingredient in our approach is a new \emph{pseudorandom multi-switching lemma}. We derandomize recently-developed \emph{multi}-switching lemmas, which are powerful generalizations of H{\aa}stad's switching lemma that deal with \emph{families} of depth-two circuits. Our pseudorandom multi-switching lemma---a randomness-efficient algorithm for sampling restrictions that simultaneously simplify all circuits in a family---achieves the parameters obtained by the (full randomness) multi-switching lemmas of Impagliazzo, Matthews, and Paturi [IMP12] and H{\aa}stad [H{\aa}s14]. This optimality of our derandomization translates into the optimality (given current circuit lower bounds) of our PRGs for $\mathsf{AC}^0$ and sparse $\mathbb{F}_2$ polynomials.

연구 동기 및 목표

• $\text{AC}^0$ 회로와 희박한 $\bbF_2$ 다항식에 대해 무조건적 디랜덤화의 최신 기술과 계산 복잡도 이론의 하향계수 사이의 격차를 해소하기 위해.
• 깊이 2의 회로 가족으로 일반화된 H{\r{a}}stad의 스위칭 렘마를 일반화한 다중스위칭 렘마의 난수 효율적인 디랜덤화를 위해.
• 현재의 회로 하향계수에 기반한 최적의 시드 길이 기준을 달성하는 PRGs의 시드 길이 기준을 확보하여, 아직 검증되지 않은 가정에 의존하지 않기 위해.
• 제안된 PRGs의 시드 길이를 향상시키기 위해서는 오랫동안 남아있던 회로 하향계수 문제에 대한 돌풍적 진전이 필요하다는 것을 입증하기 위해.

제안 방법

• 모든 회로 가족을 동시에 단순화하는 제약 조건을 효율적으로 샘플링하는 새로운 가짜난수 다중스위칭 렘마를 도입한다.
• Impagliazzo, Matthews, Paturi [IMP12]와 H{\r{a}}stad [H{\r{a}}s14]의 다중스위칭 렘마를 난수 효율적인 알고리즘을 사용해 디랜덤화한다.
• 디랜덤화된 다중스위칭 렘마를 핵심 구성 요소로 사용하여 $\text{AC}^0$ 회로와 희박한 $\bbF_2$ 다항식의 PRGs를 구축한다.
• 크기 $M$, 깊이 $d$인 $\text{AC}^0$ 회로에 대해 시드 길이 $\text{poly}(\text{log } M)^{d+O(1)} \text{ poly}(\text{log } 1/\rho)$ 와 $S$-희박한 $\bbF_2$ 다항식에 대해 $2^{O(\text{log}^{1/2} S)} \text{ poly}(\text{log } 1/\rho)$ 를 달성한다.
• PRGs의 파라미터가 원래의 완전한 난수 기반 다중스위칭 렘마와 동일하게 유지되어, 현재의 복잡도 이론적 가정 하에 최적성을 보장한다.
• PRG의 시드 길이 최적성은, 이를 향상시키기 위해서는 오랜 기간 동안 남아있던 회로 하향계수 문제에 대한 돌풍적 진전이 필요하다는 점을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 완전한 난수로부터 확보된 최고의 기준과 동일한 시드 길이를 갖는 $\text{AC}^0$ 회로와 희박한 $\bbF_2$ 다항식에 대한 가짜난수 생성기를 구성할 수 있는가?
• RQ2 깊이 2의 회로 가족을 위한 다중스위칭 렘마—H{\r{a}}stad의 렘마의 일반화—를 난수를 효율적으로 사용하면서도 그 점근적 파라미터를 유지한 채 디랜덤화할 수 있는가?
• RQ3 새로운 회로 하향계수 문제를 증명하지 않더라도, 가짜난수 생성기의 성능을 얼마나 향상시킬 수 있는가?
• RQ4 다중스위칭 렘마의 디랜덤화가 기본적인 회로 클래스에 대해 최적의 PRGs를 이끌 수 있는가?
• RQ5 이러한 클래스의 PRG 시드 길이와 그 회로 하향계수 문제 증명의 어려움 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 크기 $M$, 깊이 $d$인 $\text{AC}^0$ 회로에 대해 시드 길이 $\text{log}(M)^{d+O(1)} \times \text{log}(1/\rho)$ 인 $\rho$-PRG를 구성하며, 이는 완전한 난수로부터 확보된 최고의 기준과 일치한다.
• 크기 $S$-희박한 $\bbF_2$ 다항식에 대해 시드 길이 $2^{O(\text{log}^{1/2} S)} \times \text{log}(1/\rho)$ 인 $\rho$-PRG를 구성하며, 현재의 복잡도 이론적 가정 하에 최적의 파라미터를 달성한다.
• 가짜난수 다중스위칭 렘마는 Impagliazzo, Matthews, Paturi [IMP12]와 H{\r{a}}stad [H{\r{a}}s14]의 원래의 완전한 난수 기반 다중스위칭 렘마와 동일한 점근적 파라미터를 달성한다.
• PRG의 시드 길이 최적성은 입증되었으며, 이를 향상시키기 위해서는 오랜 기간 동안 남아있던 회로 하향계수 문제에 대한 돌풍적 진전이 필요하다.
• 다중스위칭 렘마의 디랜덤화는 난수 효율적이며, 현재의 회로 복잡도 분석 풍경에서 최적의 PRGs를 구축하는 데 기여한다.
• 결과적으로, 두 클래스에 대해 무조건적 디랜덤화의 최신 기술과 계산 복잡도 이론의 최신 기술 간 격차를 메우며, 오랫동안 남아있던 격차를 해결한다.