[논문 리뷰] Improving Fast Dual Ascent for MPC - Part II: The Embedded Case

Pontus Giselsson|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 11.

Advanced Control Systems Optimization참고 문헌 17인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 음의 이중 함수에 대한 비균일한 2차 상한을 사용하여 수렴성을 향상시키고 문제의 방향성에 맞게 곡률을 조정함으로써 임베디드 모델 예측 제어(MPC)를 위한 일반화된 빠른 이중 기울기 방법을 제안한다. 주요 기여는 이러한 상한을 정의하는 데 사용할 수 있는 유효한 행렬의 특성화이며, 이는 표준 빠른 이중 상승법 및 ADMM 방법에 비해 악조건의 MPC 문제(예: AFTI-16 기체 모델)에서 수렴 속도를 최대 세 계단 정도 향상시킨다.

ABSTRACT

Recently, several authors have suggested the use of first order methods, such as fast dual ascent and the alternating direction method of multipliers, for embedded model predictive control. The main reason is that they can be implemented using simple arithmetic operations only. However, a known limitation of gradient-based methods is that they are sensitive to ill-conditioning of the problem data. In this paper, we present a fast dual gradient method for which the sensitivity to ill-conditioning is greatly reduced. This is achieved by approximating the negative dual function with a quadratic upper bound with different curvature in different directions in the algorithm, as opposed to having the same curvature in all directions as in standard fast gradient methods. The main contribution of this paper is a characterization of the set of matrices that can be used to form such a quadratic upper bound to the negative dual function. We also describe how to choose a matrix from this set to get an improved approximation of the dual function, especially if it is ill-conditioned, compared to the approximation used in standard fast dual gradient methods. This can give a significantly improved performance as illustrated by a numerical evaluation on an ill-conditioned AFTI-16 aircraft model.

연구 동기 및 목표

• 균일한 곡률을 가진 2차 근사에서 발생하는 표준 빠른 이중 상승법의 악조건 MPC 문제에서의 열악한 수렴 성능을 해결하기 위해.
• 임베디드 MPC에서 음의 이중 함수를 보다 잘 근사하기 위해 변수 곡률을 가진 2차 상한을 사용하는 방법을 개발하기 위해.
• 음의 이중 함수에 대한 유효한 2차 상한을 정의하는 데 사용할 수 있는 행렬의 집합을 특성화하기 위해.
• 실시간 MPC에서 온라인 성능을 향상시키기 위해 문제에 특화된 행렬을 사전에 계산할 수 있도록 하기 위해.
• 어려운 악조건의 항공기 제어 문제에서 최신 기술 대비 뛰어난 실행 시간과 수렴 성능을 입증하기 위해.

제안 방법

• 이 방법은 균일한 곡률이 아닌, 서로 다른 방향에서 다른 곡률을 가지는 음의 이중 함수에 대한 2차 상한을 최소화함으로써 빠른 이중 기울기 방법을 일반화한다.
• 이중 상한이 전역적으로 유효함을 보장하는 유효한 행렬 집합에서 선택된 곡률 행렬을 기반으로 한 행렬 기반 공식화를 도입한다.
• 문제의 악조건성을 반영하기 위해, 헤시안 행렬 및 제약 행렬 등의 문제 데이터를 사용하여 사전에 곡률 행렬을 계산한다.
• 수렴을 보장하기 위해 선형 탐색 또는 백트래킹을 사용하는 수정된 이중 상승 알고리즘을 사용하며, 문제의 구조에 맞게 업데이트를 조정한다.
• 두 가지 변형을 제안한다: 등식 제약이 있는 MPC에 적합한 $\mathbf{L}_\lambda = A H^{-1} A^T$를 사용하는 경우와 연한 제약이 있는 문제에 적합한 $\mathbf{L}_\mu$를 사용하는 경우.
• 코드 생성을 통해 C로 구현되어 있어, 최소한의 온라인 계산으로 효율적인 임베디드 배포가 가능하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 방향성에 따라 변화하는 곡률을 가진 비균일한 2차 상한이 MPC에 대한 빠른 이중 기울기 방법의 수렴에 향상 효과를 줄 수 있는가?
• RQ2 음의 이중 함수에 대한 유효한 2차 상한을 정의하는 데 사용할 수 있는 행렬 집합의 수학적 특성은 무엇인가?
• RQ3 임베디드 MPC에서 온라인 성능을 향상시키기 위해 문제에 특화된 곡률 행렬을 사전에 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ4 악조건의 MPC 문제에서 표준 빠른 이중 상승법 및 ADMM보다 제안된 방법이 수렴 속도와 실행 시간 측면에서 뛰어나게 성능을 발휘하는가?
• RQ5 제안된 방법은 MPC 공식화에서 경직된 제약과 연한 제약을 모두 다룰 수 있도록 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• Richter 등(2013)의 표준 빠른 이중 상승법에 비해 $\mathbf{L}_\lambda = A H^{-1} A^T$를 사용한 제안된 방법이 실행 시간을 세 계단 이상 감소시켰다.
• Section 6에서 $P = H^{-1}$를 사용한 $\mathbf{L}_\mu$를 적용한 알고리즘은 평균 실행 시간 0.061 ms를 기록하여 Patrinos와 Bemporad(2014)의 결과보다 한 계단에서 두 계단 정도 빠르게 성능을 냈다.
• 제안된 알고리즘의 C-컴파일된 버전은 MATLAB 버전보다 평균 20배 이상 빠르며, 평균 실행 시간이 0.1 ms 이하였다.
• 최적의 $\rho = 3$를 사용한 ADMM보다 제안된 방법이 더 빠른 수렴을 달성했으며, 비최적의 $\rho$ 선택을 한 ADMM보다 최대 두 계단 정도 더 빠르게 작동했다.
• 일반 목적의 상용 QP 솔버인 MOSEK보다 한 계단 이상 뛰어난 성능을 보였고, 전용 FORCES 코드 생성기보다 두 배에서 세 배 더 빠르게 작동했다.
• AFTI-16 기체 모델에 대한 수치 평가 결과, 향상된 이중 근사가 악조건의 MPC 문제에서 성능 향상에 크게 기여함을 확인했다.