[논문 리뷰] Inapproximability for Local Correlation Clustering and Dissimilarity Hierarchical Clustering

Vaggos Chatziafratis, Neha Gupta외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 10. 04.

Advanced Clustering Algorithms Research참고 문헌 45인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 두 가지 클러스터링 문제에 대해 강력한 비근사 가능성 결과를 확립한다: ℓ∞-노름 목적함수를 사용하는 국소 상관 클러스터링과, 디스미리티 정보를 사용하는 다이어그램 비용 함수의 최대화 형태를 사용하는 계층적 클러스터링. Max-2Lin(q) 문제로의 감소와 유니크 게임 추측을 활용하여, 두 문제 모두 각각 4/3 및 9159/9189의 요소 이내로 근사가 불가능하다는 것을 증명하며, 이는 이러한 설정에 대해 처음으로 APX-난이도 결과를 확립한다.

ABSTRACT

We study the Minimum Sum Vertex Cover problem, which asks for an ordering of vertices in a graph that minimizes the total cover time of edges. In particular, n vertices of the graph are visited according to an ordering, and for each edge this induces the first time it is covered. The goal of the problem is to find the ordering which minimizes the sum of the cover times over all edges in the graph. In this work we give the first explicit hardness of approximation result for Minimum Sum Vertex Cover. In particular, assuming the Unique Games Conjecture, we show that the Minimum Sum Vertex Cover problem cannot be approximated within 1.014. The best approximation ratio for Minimum Sum Vertex Cover as of now is 16/9, due to a recent work of Bansal, Batra, Farhadi, and Tetali. We also revisit an approximation algorithm for regular graphs outlined in the work of Feige, Lovász, and Tetali, and show that Minimum Sum Vertex Cover can be approximated within 1.225 on regular graphs.

연구 동기 및 목표

• 국소 상관 클러스터링 문제에 대해 ℓ∞-노름 목적함수를 사용할 때, 각 노드당 최대의 불일치 수를 최소화하는 문제에 대해 첫 번째 비근사 가능성 결과를 확립한다.
• 디스미리티 정보를 사용하는 계층적 클러스터링에서 다스기프타의 비용 함수의 최대화 형태에 대한 비근사 가능성 결과를 증명한다.
• 두 문제 모두 표준 복잡도 가정 하에 APX-난이도임을 보이며, 이는 일정 요소 이내의 비근사 가능성 결과를 의미한다.
• 기존의 근사 알고리즘과 이러한 클러스터링 목적함수에 대한 이론적 근사 한계 사이의 격차를 메운다.

제안 방법

• Max-2Lin(q) 문제에서 출발하여, 제어된 일치 확률을 갖는 국소 상관 클러스터링의 인스턴스를 구성하기 위한 감소.
• Max-2Lin(q) 제약 조건의 만족 가능한 할당에서 균형 잡힌 이진 트리 구조를 구성하며, 노드 레이블은 함수 값에 대응한다.
• 유니크 게임 추측을 사용하여, 상관 기반 목적함수의 고멘스-윌리엄슨 유사 분석을 통해 날카로운 비근사 가능성 요소를 도출한다.
• 일치 확률과 노드의 부분트리 크기를 기반으로 트리의 각 수준에 걸쳐 간선 가중치를 분할하는 분석.
• 기하급수 급수를 사용하여 YES 케이스에서 목적함수 값의 하한을 증명하며, ρ = −0.7을 사용해 α = 0.85를 달성한다.
• NO 케이스에서 목적함수 값을 상한으로 제한하기 위해 최악의 경우 부분트리 분포를 고려하고, Γρ 함수의 단조성 특성을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ℓ∞-노름 목적함수를 사용하는 국소 상관 클러스터링 문제는 APX-난이도를 가지며, 일정 요소 이내의 비근사 가능성 결과를 의미하는가?
• RQ2 계층적 클러스터링에서 다스기프타의 비용 함수의 최대화 형태는 9159/9189 이내로 근사 가능할 수 있는가?
• RQ3 유니크 게임 추측은 디스미리티 정보를 사용하는 계층적 클러스터링에 대해 날카로운 비근사 가능성 한계를 암시하는가?
• RQ4 적절히 선택된 상관 매개수 ρ를 갖는 Max-2Lin(q) 문제로의 감소를 통해 근사 난이도를 확립할 수 있는가?
• RQ5 표준 복잡도 가정 하에 이러한 클러스터링 목적함수에 대해 달성 가능한 최소 근사 요소는 무엇인가?

주요 결과

• ℓ∞-버전의 국소 상관 클러스터링 문제는 4/3 이내로 근사가 불가능하며, 이는 이 문제에 대해 처음으로 APX-난이도 결과를 확립한다.
• 계층적 클러스터링에서 다스기프타의 비용 함수의 최대화 형태는 유니크 게임 추측 하에 9159/9189 이내로 근사가 불가능하다.
• YES 케이스에서 구성된 계층적 클러스터링 인스턴스의 목적함수 값은 작은 ε > 0 과 큰 q 에 대해 최소 0.9189n 이상이다.
• NO 케이스에서 목적함수 값은 최대 0.9159n 이며, YES 케이스보다 엄격히 작으며, 이 격차가 비근사 가능성 결과를 증명한다.
• 분석은 Γρ 함수의 단조성과 계층 트리의 각 수준에서 부분트리 가중치 기여도를 정확히 추정하는 데 의존한다.
• ρ = −0.7의 선택은 최적의 ρ ≈ −0.689에 가까운 Max-Cut의 최적값에 가까이 가도록 하여 YES 및 NO 케이스 간의 격차를 최대화한다.