[논문 리뷰] Increasing hyperbolicity of varieties supporting a variation of Hodge structures with level structures

Yohan Brunebarbe|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 25.

Algebraic Geometry and Number Theory인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 복소대수다양체의 유한 에탈레 레벨 커버에서 허지 구조의 변형을 지닌 부분다양체가 레벨이 증가함에 따라 점점 더 초구형이 된다는 것을 증명한다. 레벨이 증가함에 따라 부분다양체의 체적과 곡선의 곡선도가 무한히 증가함을 보여, 고전적인 곡선과 아벨다양체의 모듈리공간에 대한 결과를 일반화하며, 레벨 구조 하에서 선다발의 양성으로 효과적인 초구형성을 입증한다.

ABSTRACT

Looking at the finite étale congruence covers $X(p)$ of a complex algebraic variety $X$ equipped with a variation of integral polarized Hodge structures whose period map is quasi-finite, we show that both the minimal gonality among all curves contained in $X(p)$ and the minimal volume among all subvarieties of $X(p)$ tend to infinity with $p$. This applies for example to Shimura varieties, moduli spaces of curves, moduli spaces of abelian varieties, moduli spaces of Calabi-Yau varieties, and can be made effective in many cases. The proof goes roughly as follows. We first prove a generalization of the Arakelov inequalities valid for any variation of Hodge structures on higher-dimensional algebraic varieties, which implies that the hyperbolicity of the subvarieties of $X$ is controlled by the positivity of a single line bundle. We then show in general that a big line bundle on a normal proper algebraic variety $\bar X$ can be made more and more positive by going to finite covers of $\bar X$ defined using level structures of a local system defined on a Zariski-dense open subset.

연구 동기 및 목표

• 허지 구조의 변형을 지닌 다양체의 유한 에탈레 레벨 커버에서 부분다양체의 초구형성 성질이 어떻게 변화하는지 이해하기.
• 고전적인 곡선과 아벨다양체의 모듈리공간에 대한 결과를 준위가 유한한 주기 함수를 지닌 더 넓은 다양체의 범주로 일반화하기.
• 레벨 커버에서 부분다양체의 체적과 곡선도에 대한 효과적인 하한을 선다발의 양성으로 설정하기.
• 이러한 커버의 부분다양체가 점차 일반형이 되며, 비라션 복잡도가 증가함을 보여주기.

제안 방법

• 초차원 다양체로 아라케로프 부등식을 일반화하여 초구형성과 그리피스 선다발의 양성 간의 관계를 규명하기.
• 허지 메트릭을 사용하여 그리피스 선다발의 체르니 클래스를 계산하고, 곡률 성질을 분석하기.
• 국소계열에 대한 레벨 구조를 통해 유한 에탈레 커버를 구성하여 컴acts화에서 선다발의 양성을 증가시키기.
• 비라션 모델과 로그-칸론 확장을 고려하여 앰플라인 선다발의 경우로 환원하기.
• 허지 구조의 매어모르픽 확장을 이론적으로 적용하여 특이점을 제어하고, 로그-칸론 선다발로의 메트릭 확장을 보장하기.
• 웨일 내림과 토렐리 임bedding을 사용하여 아벨다양체의 모듈리공간에서의 결과를 곡선과 칼라비-야우 다양체의 모듈리공간으로 이행하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 허지 구조의 변형을 지닌 다양체의 레벨 커버에서 부분다양체의 초구형성은 레벨이 증가함에 따라 어떻게 변화하는가?
• RQ2 이러한 커버에서 부분다양체의 체적과 곡선도가 모든 부분다양체에 대해 균일하게 무한히 증가함을 보일 수 있는가?
• RQ3 그리피스 선다발의 양성이 초차원 다양체에서 초구형성을 얼마나 잘 제어할 수 있는가?
• RQ4 레벨 커버의 구조와 허지 메트릭으로부터 체적과 곡선도에 대한 효과적인 하한을 유도할 수 있는가?
• RQ5 칼라비-야우 다양체의 모듈리공간과 아벨다양체의 모듈리공간은 레벨 구조 하에서 점차 초구형성이 증가하는가?

주요 결과

• 모든 유한한 소수 p에 대해, X(p)의 임의의 정수 부분다양체 Y는 주어진 v > 0에 대해 vol(Y) ≥ v를 만족하며, 이는 부분다양체가 결국 일반형임을 의미한다.
• X(p)에 포함된 곡선의 최소 종수는 p가 증가함에 따라 무한히 증가하며, 이는 곡선도의 최소값에도 동일하게 적용된다.
• X(p)의 임의의 부분다양체의 체적은 p가 증가함에 따라 무한히 증가하며, 많은 경우에서 효과적이다.
• 아벨다양체의 모듈리공간 Ag(n)에 대해서는 n > 6g일 때 모든 부분다양체가 일반형이며, 곡선의 곡선도는 최소 ⌈n/(6g)⌉ 이상이다.
• 편광 칼라비-야우 다양체의 모듈리공간에 대해서는 레벨-p 커버에서 부분다양체의 최소 체적과 곡선도가 p가 증가함에 따라 무한히 증가한다.
• 결과는 셰이마다양체, 곡선의 모듈리공간, 아벨다양체, 칼라비-야우 다양체에 대해 균일하게 적용되며, 많은 경우에서 효과적인 하한을 확보할 수 있다.