[논문 리뷰] Increasing the chromatic number of a random graph

Noga Alon, Benny Sudakov|arXiv (Cornell University)|2010. 02. 09.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 11인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 무작위 그래프 $G_{n,0.5}$ 의 색칠 수 있는 수를 1% 증가시키기 위해 추가로 필요한 간선의 최소 수를 결정하며, 이 수가 상수 인자 이내에서 $\Omega(n^2/\log^2 n)$ 임을 보여준다. $p$ 가 $n^{-1/3+\delta} \leq p \leq 1/2$ 범위에 있을 때 $G_{n,p}$ 에서 색칠 수 있는 수의 전역 및 국소적 내성에 대해 날카운 경계를 설정하며, 이는 이차 이하의 수의 간선을 추가해도 일반적인 값 이외로 색칠 수 있는 수가 크게 증가하지 않는다는 것을 증명한다.

ABSTRACT

What is the minimum number of edges that have to be added to the random graph $G=G_{n,0.5}$ in order to increase its chromatic number $χ=χ(G)$ by one percent ? One possibility is to add all missing edges on a set of $1.01 χ$ vertices, thus creating a clique of chromatic number $1.01 χ$. This requires, with high probability, the addition of $Ω(n^2/\log^2 n)$ edges. We show that this is tight up to a constant factor, consider the question for more general random graphs $G_{n,p}$ with $p=p(n)$, and study a local version of the question as well. The question is motivated by the study of the resilience of graph properties, initiated by the second author and Vu, and improves one of their results.

연구 동기 및 목표

• 무작위 그래프 $G_{n,0.5}$ 의 색칠 수 있는 수를 1% 증가시키기 위해 필요한 간선의 최소 수를 결정하는 것.
• 이 분석을 $p \in [n^{-1/3+\delta}, 1/2]$ 인 일반적인 무작위 그래프 $G_{n,p}$ 로 확장하는 것.
• 일반적인 색칠 수 있는 수 $\sim n/(2\log_b(np))$ 와 관련하여 색칠 수 있는 수의 전역 및 국소적 내성에 대해 날카운 경계를 설정하는 것.
• Sudakov 와 Vu 가 이전에 제시한 내성 경계를 향상시키며, 특히 $np^2/\log^5 n$ 의 국소적 내성 추정치를 개선하는 것.

제안 방법

• 색칠 수 있는 수를 변화시키기 위해 추가로 필요한 간선의 수를 분석하기 위해 Sudakov 와 Vu 의 내성 프레임워크를 사용한다.
• 확률적 방법과 일차 및 이차 모멘트 계산을 적용하여 독립 집합의 크기와 색칠 수 있는 수의 경계를 설정한다.
• 정점 부분집합에 의해 유도된 부분그래프에서 큰 독립 집합을 찾는 기반으로 반복적인 색칠 절차를 적용한다.
• 집중 불등식과 도수 경계를 활용하여 국소적 내성 설정에서 $H$ 가 추가하는 간선의 수를 제어한다.
• 색칠 수 있는 수의 하한으로 $\chi(G) \leq n/\alpha(G)$ 를 사용하며, 독립 집합 구성 방법을 통해 상한을 유도한다.
• Lemma 3.1 과 Lemma 3.2 을 적용하여 유도된 부분그래프의 간선 수를 제한하고, 색칠 수 있는 수가 일반적인 값과 $1+\epsilon$ 이내에 유지됨을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무작위 그래프 $G_{n,0.5}$ 에 추가로 얼마나 많은 간선을 더해야 색칠 수 있는 수가 1% 증가하는가?
• RQ2 $p \in [n^{-1/3+\delta}, 1/2]$ 일 때 $G_{n,p}$ 의 색칠 수 있는 수에 대한 전역 내성은 $n$ 과 $p$ 에 따라 어떻게 변화하는가?
• RQ3 이전 연구에서 제시한 $np^2/\log^5 n$ 의 국소적 내성 경계를 넘어서 색칠 수 있는 수의 국소적 내성을 향상시킬 수 있는가?
• RQ4 국소적 내성 경계에 포함된 $\log\log n$ 인자는 날카로운가, 아니면 제거할 수 있는가?
• RQ5 색칠 수 있는 수를 $1+\epsilon$ 배로 증가시키는 데 가장 효율적인 방법은 클리크를 형성하는 것인가?

주요 결과

• $G_{n,p}$ 의 색칠 수 있는 수에 대한 전역 내성은 $(1+\epsilon)n/(2\log_b(np))$ 이하일 때 $\Theta(n^2/\log^2_b(np))$ 이며, 상수 인자 이내에서 날카로운 경계이다.
• $p \in [n^{-1/3+\delta}, 1/2]$ 일 때, $2^{-12}\epsilon^2 n^2 / \log^2_b(np)$ 개의 간선을 추가하면 거의 확실히 색칠 수 있는 수가 $(1+\epsilon)n/(2\log_b(np))$ 를 초과하지 않는다.
• 국소적 내성 조건에서 추가된 그래프 $H$ 의 최대 도수가 $2^{-8}\epsilon n / (\log_b(np)\log\log n)$ 이하일 경우, 색칠 수 있는 수가 일반적인 값과 $1+\epsilon$ 이내에 유지됨을 보장한다.
• 국소적 내성 경계는 $\log\log n$ 인자에 대해 날카롭지 않으며, 향상 가능할 여지가 있음을 시사한다.
• 논문은 국소적 내성 조건에서 $\log\log n$ 인자가 제거될 수 있을 것이라 추측한다.
• 색칠 수 있는 수를 $1+\epsilon$ 배로 증가시키는 데 가장 경제적인 방법은 $\sim n/\log_b(np)$ 크기의 클리프를 형성하는 것으로, 이는 $\sim n^2/(16\log^2_b n)$ 개의 간선이 필요하지만, 아직 미해결이다.