[논문 리뷰] Index and Spectral Theory for Manifolds with Generalized Fibred Cusps

Boris Vaillant|ArXiv.org|2001. 02. 08.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 20인용 수 47

한 줄 요약

이 논문은 $φ$-계산법을 사용하여 일반화된 섬유화된 쿠스를 가진 다양체 위의 딜라크 연산자에 대한 인덱스 이론과 스펙트럼 이론을 수립한다. 해석적 계속성과 열핵을 통한 리소본트의 메로모르픽 계속성을 구축함으로써, 무한대에서 수직 및 수평 딜라크 연산자의 $η$-정수를 포함하는 명시적인 $L^2$-인덱스 공식을 증명하며, 국소 대칭 공간이 아닌 다각형 기하학을 가진 공간으로 멀러의 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

Generalizing work of W. Müller we investigate the spectral theory for the Dirac operator D on a noncompact manifold X with generalized fibred cusps $$ C(M)=M imes [A,\infty[_r, g= d r^2+ ϕ^*g_Y+ e^{-2cr}g_Z, $$ at infinity. Here $ϕ:M^{h+v} o Y^h$ is a compact fibre bundle with fibre Z and a distinguished horizontal space HM. The metric $g_Z$ is a metric in the fibres and $g_Y$ is a metric on the base of the fibration. We also assume that the kernel of the vertical Dirac operator at infinity forms a vector bundle over $Y$. Using the ``$ϕ$-calculus'' developed by R. Mazzeo and R. Melrose we explicitly construct the meromorphic continuation of the resolvent $G(λ)$ of D for small spectral parameter as a special ``conormal distribution''. From this we deduce a description of the generalized eigensections and of the spectral measure of D. Complementing this, we perform an explicit construction of the heat kernel $[\exp(-tD^2)]$ for finite and small times t, corresponding to large spectral parameter $λ$. Using a generalization of Getzler's technique, due to R. Melrose, we can describe the singular terms in the heat kernel expansion and prove an index formula for D, calculating the extended $L^2$-index of D in terms of the usual local expression, the family eta invariant for the family of vertical Dirac operators at infinity and the eta invariant for the horizontal ``Dirac'' operator at infinity.

연구 동기 및 목표

• 일반화된 섬유화된 쿠스 기하학을 가진 비유한 다각형에 대해 딜라크 연산자에 대한 스펙트럼 이론과 인덱스 이론을 국소 대칭 공간이 아닌 경우로 확장함으로써 멀러의 결과를 일반화한다.
• φ-계산법과 정규 분포 함수를 이용하여 이러한 다양체 위에서 리소본트와 열핵의 엄밀한 프레임워크를 수립한다.
• 지오메트릭적 곡률 불변량, 수직 딜라크 연산자의 가족 $η$-정수, 그리고 무한대에서의 수평 딜라크 연산자의 $η$-정수로 표현되는 명시적인 $L^2$-인덱스 공식을 유도한다.
• φ-계산법 프레임워크 내에서 딜라크 연산자 및 그 역의 사상 성질을 확립함으로써 스펙트럼 분해와 리소본트 분석이 가능하도록 한다.

제안 방법

• 저자는 무한대에 있는 섬유화된 쿠스를 가진 다양체를 $x = e^{-cr}$를 경계 정의 함수로 사용하여 컴actify하고, 이를 통해 메트릭을 열화된 $φ$-메트릭 $g_d$로 변환한다.
• $φ$-계산법을 적용하여 $φ$-미분 및 $φ$-편미분 연산자를 정의함으로써, 컴actify된 공간 위에서 딜라크 연산자 ${\tt D}^d$의 분석이 가능하도록 한다.
• 리소본트 $G(\lambda)$는 $φ$-계산법 내의 기호적 방법을 사용하여 메로모르픽 계속성을 통해 구성되며, 앞면(ff)에서의 정규 연산자가 중심적인 역할을 한다.
• 작은 $t$에 대해 열핵 $\exp(-t{\tt D}^2)$는 이중 스케일링 기법과 $d$-열핵 계산법을 사용하여 구성되며, 경계 근처 및 내부에서의 점근적 전개가 가능해진다.
• 열핵 전개와 $φ$-계산법에 적응된 게츠러의 스케일링 기법을 결합함으로써 인덱스 공식을 유도하며, 공간 무한대와 내부에서의 특이 항을 분리한다.
• 구성 과정은 정규 분포 함수와 인덱스 집합을 사용하여 일반화된 고유분위수와 스펙트럼 측도의 점근적 행동을 기술한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 섬유화된 쿠스 기하학을 가진 다양체에 대해, 국소 대칭 공간을 초월하여 딜라크 연산자의 스펙트럼 이론을 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ2 이 기하학적 설정에서 딜라크 연산자의 리소본트 $G(\lambda)$의 정확한 메로모르픽 계속성의 형태는 무엇인가?
• RQ3 작은 시간에서 열핵 전개는 특히 섬유화된 경계와 내부에서 어떻게 행동하는가?
• RQ4 지오메트릭적 및 위상수학적 불변량을 기반으로 하여 딜라크 연산자의 $L^2$-인덱스의 구조는 어떻게 되는가?
• RQ5 수직 딜라크 연산자 가족의 $η$-정수와 무한대에서의 수평 딜라크 연산자의 $η$-정수를 포함하는 명시적인 인덱스 공식을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 딜라크 연산자 ${\tt D}^d$의 리소본트 $G(\lambda)$는 $φ$-계산법 프레임워크 내에서 $\lambda = 0$의 근처로 메로모르픽 계속성을 가지며, 정규 분포 함수로서의 성질을 가진다.
• 일반화된 고유분위수와 스펙트럼 측도는 리소본트의 구조와 그의 극점에 의해 완전히 기술된다.
• 작은 $t$에 대해 열핵 $\exp(-t{\tt D}^2)$는 $d$-열핵 계산법과 이중 스케일링을 사용하여 명시적으로 구성되며, 앞면(ff)과 섬유화된 경계(bf)에서 특이 항이 분리된다.
• 딜라크 연산자의 $L^2$-인덱스는 다음과 같은 인덱스 공식을 통해 계산된다: $${\rm ind}_{-}({\tt D})=\frac{1}{(2\pi i)^{n/2}}\int_{X}\widehat{A}(R)\mathop{\,\rm Ch}\nolimits(F^{E/S})+\frac{1}{(2\pi i)^{(h+1)/2}}\int_{Y}\widehat{A}(R^{Y})\widehat{\eta}({\tt D}^{V})+\frac{1}{2}\eta({\tt D}_{Y}),$$ 이는 국소 $φ$-특성류, 수직 딜라크 연산자 가족의 가족 $η$-정수, 그리고 무한대에서의 수평 딜라크 연산자의 $η$-정수를 통합한다.
• ${\tt D}^d$의 사상 성질은 $φ$-계산법 내에서 완전히 기술된다: $\mathcal{A}^{[\circ]I}(X,E)$에서 $\mathcal{A}^{I}(X,E)$로 사상되며, 영 모드에서의 주요 항에 대한 제어가 가능하다.
• b-포장에 의한 정규 함수의 당김과 밀림이 엄밀히 정의되며, 이는 열핵과 리소본트의 기호적 및 점근적 방법에 의한 구성에 기여한다.