[논문 리뷰] Index theory for locally compact noncommutative geometries

Alan L. Carey, Victor Gayral외 2명|arXiv (Cornell University)|2011. 07. 05.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 49인용 수 55

한 줄 요약

이 논문은 비단위 대수에서 반유한 비환류 기하학의 스펙트럴 트리플릿에 대한 국소적 인덱스 공식을 수립하며, 이는 이전에 국소 단위를 가정한 경우에만 성립했던 Connes-Moscovici 공식을 비단위 경우로 확장한다. 무게 도메인과 Schatten 노름과 호환되는 보다 정교한 미분형식 계산법과 통합 이론을 개발함으로써, 저자들은 국소 단위를 가정하지 않고도 공식을 증명한다. 이는 비콤팩트 및 비환류 기하학에서의 인덱스 페어링 가능하게 하며, 유계 기하 구조를 가진 다양체와 Moyal 평면과 같은 비단위 비환류 예제에 응용 가능하다.

ABSTRACT

Spectral triples for nonunital algebras model locally compact spaces in noncommutative geometry. In the present text, we prove the local index formula for spectral triples over nonunital algebras, without the assumption of local units in our algebra. This formula has been successfully used to calculate index pairings in numerous noncommutative examples. The absence of any other effective method of investigating index problems in geometries that are genuinely noncommutative, particularly in the nonunital situation, was a primary motivation for this study and we illustrate this point with two examples in the text. In order to understand what is new in our approach in the commutative setting we prove an analogue of the Gromov-Lawson relative index formula (for Dirac type operators) for even dimensional manifolds with bounded geometry, without invoking compact supports. For odd dimensional manifolds our index formula appears to be completely new. As we prove our local index formula in the framework of semifinite noncommutative geometry we are also able to prove, for manifolds of bounded geometry, a version of Atiyah's L^2-index Theorem for covering spaces. We also explain how to interpret the McKean-Singer formula in the nonunital case. In order to prove the local index formula, we develop an integration theory compatible with a refinement of the existing pseudodifferential calculus for spectral triples. We also clarify some aspects of index theory for nonunital algebras.

연구 동기 및 목표

• 국소 단위가 존재하지 않는 비단위 대수로의 Connes-Moscovici 국소 인덱스 공식을 확장하는 것. 이는 이전 방법이 국소 단위의 부재로 인해 실패한 이유 때문이다.
• 비단위 설정에서 무게 도메인과 Schatten 노름과 호환되는 미분형식 계산법과 통합 이론을 개발하는 것.
• 비단위 버전의 McKean-Singer 공식과 유계 기하 구조를 가진 다양체의 코ating 공간에 대한 $L^2$-인덱스 정리를 증명하는 것.
• 국소 콤팩트, 비콤팩트 및 비환류 공간에서 인덱스 이론을 위한 통합 프레임워크를 제공하는 것.
• 오픈 다양체와 Moyal 평면, 토러스 작용과 같은 비단위 비환류 예제에 대한 응용을 통해 공식의 유용성을 보여주는 것.

제안 방법

• 내성적인 연산자에 대한 무게 도메인과 Schatten 노름 추정을 사용하여 스펙트럴 트리플릿에 대한 정교한 미분형식 계산법을 개발한다.
• 반유한 설정에서 국소 인덱스 공식을 정의하기 위해 해소체와 잔류 코chain 구성법을 도입한다.
• 디랙 연산자 $\mathcal{D}$의 가역성 부재를 다루기 위해 이중 구성법과 축소된 코체인을 사용한다.
• 보조 코체인과 호모토피를 통해 카르탕 특성에 대한 해소체 코체인의 연속성과 전이성을 확립한다.
• 분수 거듭제곱의 적분 공식과 점근 전개를 적용하여 연산자 노름과 추적 미분 가능성을 제어한다.
• Hölder 부등식과 $\mathcal{L}^q(\mathcal{N}, \tau)$ 내의 노름 추정을 사용하여 핵심 연산자 가중치의 추적 노름의 미분 가능성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Connes-Moscovici 국소 인덱스 공식은 국소 단위의 존재를 가정하지 않고 비단위 스펙트럴 트리플릿으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 반유한 비환류 기하학에서 비단위 버전의 McKean-Singer 공식은 어떻게 구성하고 증명할 수 있는가?
• RQ3 유계 기하 구조를 가진 홀수 차원 다양체에 대한 국소 인덱스 공식의 구조는 무엇이며, 짝수 차원의 경우와 어떻게 다를까?
• RQ4 실로 비단위인 비환류 기하학, 예를 들어 Moyal 평면에서 인덱스 페어링은 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ5 무게 도메인과 Schatten 노름은 비단위 스펙트럴 트리플릿에 대한 일관된 통합 이론을 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 논문은 비단위 스펙트럴 트리플릿에 대한 국소 인덱스 공식을 반유한 von Neumann 대수에서 수립하였으며, 대수에 국소 단위가 존재하지 않아도 성립함을 보였다.
• 비단위 버전의 McKean-Singer 공식이 증명되었으며, 이는 비단위 설정에서 열핵 추적을 통한 인덱스 페어링 계산을 가능하게 한다.
• 유계 기하 구조를 가진 다양체에 대해 논문은 코팅 공간에 대한 $L^2$-인덱스 정리를 증명하였으며, 이는 Atiyah의 결과를 비단위 경우로 확장한 것이다.
• 홀수 차원 인덱스 공식이 유도되었으며, 이는 이 분야에서 처음으로 알려진 결과로 보이며, 기존의 짝수 차원 결과를 초월한다.
• Moyal 평면는 부드럽게 합산 가능한 스펙트럴 트리플릿을 갖으며, 국소 인덱스 공식은 이 비환류 예제에서 인덱스 페어링에 대한 구체적인 해석적 표현을 도출한다.
• 증명은 비단위 스펙트럴 트리플릿에 대한 새로운 통합 이론과 미분형식 연산자의 Schatten 노름 추정에 기반하며, Hölder 및 적분 추정을 통해 추적 노름의 미분 가능성이 확립된다.