[논문 리뷰] Indices of pseudodifferential operators on open manifolds

Alexander Engel|arXiv (Cornell University)|2014. 10. 29.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 1인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 유니폼 $K$-호모로지와 $K$-이론, 케르너 특성 사상 등을 사용하여, 경계가 있는 기하학을 갖는 만물에 대해 딜라크 연산자에 대한 Roe의 지수 정리를 일반화하여 일반 타원형 미분형 연산자로 확장한다. 유니폼 코arse 어셈블리 맵을 통해 유니폼 $K$-호모로지와 유니폼 Roe 대수의 $K$-이론 사이의 연결 고리를 확립하고, 스피너$^c$ 만물에 대해 유니폼 $K$-호모로지와 $K$-이론 사이의 Poincaré 대칭을 증명하며, 토폴로지적 지수를 유도한다. 이는 토폴로지적 지수의 일반화된 정리로 이어진다.

ABSTRACT

We generalize Roe's Index Theorem for operators of Dirac type on open manifolds to elliptic pseudodifferential operators. To this end we introduce a class of pseudodifferential operators on manifolds of bounded geometry which is more general than similar classes defined by other authors. We revisit Spakula's uniform K-homology and show that our elliptic pseudodifferential operators naturally define classes there. Furthermore, we use the uniform coarse assembly map to relate these classes to the index classes of these operators in the K-theory of the uniform Roe algebra. Our investigation of uniform K-homology goes on with constructing the external product for it and deducing homotopy invariance. The next major result is the identification of the dual theory of uniform K-homology: uniform K-theory. We give a simple definition of uniform K-theory for all metric spaces and in the case of manifolds of bounded geometry we give an interpretation via vector bundles of bounded geometry over the manifold. This opens up the door for Chern-Weil theory and we define a Chern character map from uniform K-theory of a manifold to its bounded de Rham cohomology. We introduce a type of Mayer-Vietoris argument for these uniform (co-)homology theories which enables us to show firstly, that the Chern character induces an isomorphism modulo torsion, and secondly, that we have Poincare duality between uniform K-theory and uniform K-homology if the manifold is spin-c. Poincare duality together with the relation of uniform K-homology to the index theorem of Roe mentioned above directly leads to a generalization of the index theorem to elliptic pseudodiffential operators. Finally, using homotopy invariance of uniform K-homology we derive important results about the uniform coarse Baum-Connes conjecture establishing it equally important as the usual coarse Baum-Connes conjecture.

연구 동기 및 목표

• 경계가 있는 기하학을 갖는 열린 만물에서 딜라크 유형 연산자에 대한 Roe의 지수 정리를 일반 타원형 미분형 연산자로 확장한다.
• 기존 프레임워크를 일반화하고 유니폼 $K$-호모로지와 호환되는 새로운 유형의 미분형 연산자를 정의한다.
• 유니폼 코arse 어셈블리 맵을 통해 유니폼 $K$-호모로지와 유니폼 Roe 대수의 $K$-이론 사이의 연결 고리를 확립한다.
• 유니폼 $K$-이론에서 유계 de Rham 코homology로의 케르너 특성 사상 맵을 구성하고, 이가 토피컬 토르션 모듈로에서의 동형사상임을 증명한다.
• 스피너$^c$ 만물에 대해 유니폼 $K$-호모로지와 $K$-이론 사이의 Poincaré 대칭을 증명하고, 이는 Roe의 지수 정리의 일반화로 이어진다.

제안 방법

• 경계가 있는 기하학을 갖는 만물에 대해 기존의 구성들을 일반화하는 새로운 유형의 미분형 연산자를 도입한다.
• Špakula의 유니폼 $K$-호모로지를 재검토하고, 타원형 미분형 연산자가 이 이론의 클래스를 자연스럽게 정의함을 보인다.
• 유니폼 코arse 어셈블리 맵을 사용하여 유니폼 $K$-호모로지 클래스를 유니폼 Roe 대수의 $K$-이론의 지수 클래스와 연결한다.
• 메트릭 공간에 대한 유니폼 $K$-이론을 정의하고, 이는 경계가 있는 기하학을 갖는 만물에서 유계 기하학을 갖는 벡터 번들의 관점에서 해석한다.
• 유니폼 $K$-이론에서 유계 de Rham 코homology로의 케르너 특성 사상 맵을 정의하고, 이가 토피컬 토르션 모듈로에서의 동형사상임을 증명한다.
• 스피너$^c$ 만물에 대해 유니폼 $K$-호모로지와 $K$-이론 사이의 Poincaré 대칭을 확립하여, Roe의 지수 정리의 일반화를 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 디릴라크 유형 연산자에 대한 Roe의 지수 정리는 어떻게 열린 만물에서 타원형 미분형 연산자로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 비유한 만물에서 타원형 미분형 연산자의 지수 이론을 뒷받침할 적절한 유니폼 $K$-호모로지 프레임워크는 무엇인가?
• RQ3 유니폼 코arse 어셈블리 맵은 어떻게 유니폼 $K$-호모로지와 유니폼 Roe 대수의 $K$-이론을 연결하는가?
• RQ4 유계 de Rham 코homology는 비유한 만물의 토폴로지적 지수 구성에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 경계가 있는 기하학을 갖는 스피너$^c$ 만물에 대해 유니폼 $K$-호모로지와 $K$-이론 사이의 Poincaré 대칭이 성립하는가? 그리고 이는 지수 이론에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 경계가 있는 기하학을 갖는 만물에 대해 이전의 프레임워크를 일반화하고 유니폼 $K$-호모로지와 호환되는 새로운 유형의 미분형 연산자가 도입되었다.
• 타원형 미분형 연산자가 자연스럽게 유니폼 $K$-호모로지의 클래스를 정의하며, 이는 호모토피 불변 지수 이론을 가능하게 한다.
• 유니폼 코arse 어셈블리 맵을 통해 유니폼 $K$-호모로지와 유니폼 Roe 대수의 $K$-이론 사이의 다리를 놓는다.
• 유니폼 $K$-이론에서 유계 de Rham 코homology로의 케르너 특성 사상 맵이 정의되었고, 이는 토피컬 토르션 모듈로에서의 동형사상임을 증명하였다.
• 경계가 있는 기하학을 갖는 스피너$^c$ 만물에 대해 유니폼 $K$-호모로지와 $K$-이론 사이의 Poincaré 대칭이 성립한다.
• Poincaré 대칭과 코arse 어셈블리 맵의 조합은 Roe의 지수 정리를 열린 만물에서 경계가 있는 기하학을 갖는 모든 타원형 미분형 연산자로 일반화하는 데 기여한다.