[논문 리뷰] Inf-convolution and optimal risk sharing with arbitrary sets of risk measures

Marcelo Brutti Righi|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 12.

Risk and Portfolio Optimization인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 위험 측도의 inf-convolution을 유한 또는 가чёт한 집합을 초월해 임의의(기수 불가능한) 집합으로 확장한다. 이를 위해 볼륨 가중치를 확률 측도로 일반화함으로써 금융 및 보험 맥락에서 최적의 위험 공유와 일반 균형을 위한 통합 프레임워크를 제공한다. 주요 기여는 본질적인 위험 측도 성질을 유지하면서도 임의의 위험 측도 집합에서 최적의 할당을 가능하게 하는 엄밀한 이중성 기반 이론이다.

ABSTRACT

The inf-convolution of risk measures is directly related to risk sharing and general equilibrium, and it has attracted considerable attention in mathematical finance and insurance problems. However, the theory is restricted to finite (or at most countable in rare cases) sets of risk measures. In this study, we extend the inf-convolution of risk measures in its convex-combination form to an arbitrary (not necessarily finite or even countable) set of alternatives. The intuitive principle of this approach is to regard a probability measure as a generalization of convex weights in the finite case. Subsequently, we extensively generalize known properties and results to this framework. Specifically, we investigate the preservation of properties, dual representations, optimal allocations, and self-convolution.

연구 동기 및 목표

• 유한하거나 가чёт한 집합을 초월해 임의의 집합으로 위험 측도의 inf-convolution을 일반화하는 것.
• 임의의 집합 집계에서 위험 측도의 핵심 성질을 유지하는 이중성 프레임워크를 수립하는 것.
• 기수 불가능한 많은 위험 측도 선택지가 존재하는 맥락에서 최적의 위험 공유와 일반 균형 분석을 가능하게 하는 것.
• 무한한 맥락에서 확률 측도를 일반화된 볼륨 가중치로 공식화하는 것.
• 확장된 프레임워크에서 자기-합성과 쌍대 표현을 조사하는 것.

제안 방법

• 유한 inf-convolution에서의 볼륨 조합을 확률 측도에 대한 적분으로 일반화하여 연속적인 가중치로 간주한다.
• 확률 측도에 대한 적분 표현을 통해 임의의 위험 측도 집합의 inf-convolution을 정의한다.
• 이중성 이론을 활용하여 위험 측도의 inf-convolved 표현을 쌍대 함수와 지지집합의 관점에서 유도한다.
• 볼륨성, 현금 불변성, 단조성과 같은 성질이 일반화된 inf-convolution 하에서 어떻게 유지되는지 특성화한다.
• 무한 맥락에서 최적의 할당이 존재하고 유일함을 보장하는 조건을 수립한다.
• 일반적인 가족에 대해 위험 측도가 자기 자신과 inf-convolution되는 경우를 고려하여 자기-합성 분석을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 위험 측도의 inf-convolution은 어떻게 유한한 집합에서 기수 불가능한 집합으로 일관되게 확장될 수 있는가?
• RQ2 위험 측도 집계 맥락에서 확률 측도는 볼륨 가중치를 일반화하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 볼륨성, 현금 불변성 등 위험 측도의 기본 성질들이 이 일반화된 inf-convolution 하에서 어떻게 유지되는가?
• RQ4 무한 차원 맥락에서 최적의 위험 할당이 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 확장된 프레임워크에서 inf-convolved 위험 측도의 쌍대 표현은 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• 확률 측도에 대한 통합을 통해 정의된 일반화된 inf-convolution은 볼륨성, 현금 불변성, 단조성과 같은 핵심 위험 측도 성질을 유지한다.
• inf-convolved 위험 측도에 대한 쌍대 표현이 확립되었으며, 이는 개별 위험 측도의 쌍대 함수와 연결된다.
• 약한 정규 조건 하에서 최적의 위험 할당이 존재하며, 이는 inf-convolved 위험 측도의 초미분을 통해 특성화된다.
• 자기-합성은 일반화된 프레임워크에서 잘 정의되어 있으며, 유한한 경우와 유사한 구조적 성질을 유지한다.
• 확률 측도를 연속적인 가중치로 사용하는 것은 수학적으로 일관되고 금융적으로 의미 있는 방식으로 유한한 볼륨 조합 맥락을 일반화한다.
• 이 프레임워크는 기수 불가능한 많은 참여자나 금융 도구 간의 위험 측도 집계를 가능하게 하여 일반 균형 분석을 지원한다.