[논문 리뷰] Infinite time horizon spatially distributed optimal control problems with pde2path algorithms and tutorial examples

Hannes Uecker, Hannes de Witt|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 23.

Optimization and Variational Analysis참고 문헌 29인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 pde2path를 사용하여 포물형 PDE에 대한 무한 시간 영역 최적 제어 문제를 연속성 및 분기 방법을 통해 해결하는 수치 프레임워크를 제시한다. 펀트리아긴의 최대원리와 이중 단계 알고리즘을 결합하여 초기 상태에서 정규화된 정 steady 상태(CSS) 또는 정규화된 정현 상태(CPS)를 연결하는 정규 경로를 계산하며, 얕은 호수의 인산염 관리, 식생 역학, 경계 제어를 통한 오염 완화와 같은 생태학적 및 경제 모델에서 강건한 수렴성과 분기 분석을 입증한다.

ABSTRACT

We use the continuation and bifurcation package pde2path to numerically analyze infinite time horizon optimal control problems for parabolic systems of PDEs. The basic idea is a two step approach to the canonical systems, derived from Pontryagin's maximum principle. First we find branches of steady or time-periodic states of the canonical systems, i.e., canonical steady states (CSS) respectively canonical periodic states (CPS), and then use these results to compute time-dependent canonical paths connecting to a CSS or a CPS with the so called saddle point property. This is a (high dimensional) boundary value problem in time, which we solve by a continuation algorithm in the initial states. We first explain the algorithms and then the implementation via some example problems and associated pde2path demo directories. The first two examples deal with the optimal management of a distributed shallow lake, and of a vegetation system, both with (spatially, and temporally) distributed controls. These examples show interesting bifurcations of so called patterned CSS, including patterned optimal steady states. As a third example we discuss optimal boundary control of a fishing problem with boundary catch. For the case of CPS-targets we first focus on an ODE toy model to explain and validate the method, and then discuss an optimal pollution mitigation PDE model.

연구 동기 및 목표

• 분포형 및 경계 제어를 갖는 포물형 PDE에 의해 지배되는 무한 시간 영역 최적 제어 문제를 해결하기 위한 계산 프레임워크를 개발한다.
• 연속성 및 분기 기법을 사용하여 펀트리아긴의 최대원리로부터 유도된 정규 시스템의 수치 분석을 가능하게 한다.
• 초기 상태에서 정규 정 steady 또는 정현 상태를 연결하는 시간에 의존하는 정규 경로를 계산하며, 최적성의 안장점 성질을 보장한다.
• 실세계 모델인 호수의 인산염 관리, 식생 역학, 경계 제어를 통한 오염 완화에 대해 이 방법을 적용하여 시연한다.
• ODE 토이 모델을 사용하여 접근법을 검증하고, 특히 분기점 근처에서 ODE와 PDE 해의 일致성을 보여준다.

제안 방법

• PDE 최적 제어 문제의 해밀토니안에서 정규 시스템을 도출하기 위해 펀트리아긴의 최대원리를 적용한다.
• pde2path를 사용하여 수치 연속 기법을 통해 정규 정 steady 상태(CSS) 및 정규 정현 상태(CPS)의 분지(branch)를 계산한다.
• 안장점 성질을 만족하고 초기 상태에서 CSS 또는 CPS로 연결하는 시간에 의존하는 정규 경로(CP)를 정규 시스템의 해로 구성한다.
• 이중 단계 연속 알고리즘을 구현: 먼저 CSS/CPS를 계산한 후, 증가하는 잘라내기 시간 T에 따라 초기 상태 연속을 사용하여 CP를 추적한다.
• CPS 목표물의 경우 짧은 T로 시작하여 정현 해를 반복하여 추가함으로써 수렴성을 향상시키며, 허용 오차 기반 연속 전략을 사용한다.
• pqzschur을 사용하여 중심-불안정 고유공간에 투영하며, 이는 확산 및 반-확산 효과로 인한 큰 및 작은 고유치수를 다루는 데 핵심적이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분포형 및 경계 제어를 갖는 무한 시간 영역 PDE 최적 제어 문제에 대해 정규 경로를 효율적으로 계산하는 방법은 무엇인가?
• RQ2 정규 정 steady 및 정현 상태의 분기가 공간 분포 시스템에서 최적 제어 전략을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 최적 제어 해에서 공간 패턴은 어떻게 발생하며, 정규 시스템의 불안정성과의 관계는 무엇인가?
• RQ4 ODE 기반 토이 모델은 특히 허프 분기점 근처에서 PDE 정규 경로의 행동을 정확히 예측할 수 있는가?
• RQ5 고차원 불안정 다변량을 고려할 때, 정규 경로가 정현 목표로 수렴하는 데 있어 강건한 수렴성을 보장하는 수치 전략은 무엇인가?

주요 결과

• ρ=0.55에서 안정한 CSS로의 정규 경로는 근접한 허프 분기로 인해 느리게 수렴하며, 가장 느린 감쇠율 μ≈0.0059를 보인다.
• (v₀,w₀)=(0.4,0.4)인 초기 조건에 대해 최적 경로는 높은 초기 제거 투자와 배출 감소로 인해 음수인 J≈−0.1297의 값을 낳는다.
• (v₀,w₀)=(0,0)인 초기 조건에 대해 최적 경로는 증가하는 배출과 초기 제거 비용의 부재로 인해 양수인 J≈0.0202의 값을 낳는다.
• ρ=0.57에서 균일한 CPS로의 정규 경로는 T≈10Tₚ 이후 최종 편차 ∥u(1)−û₀∥∞≈10⁻⁴로 수렴하며, 후속 정밀화로 10⁻⁶ 수준까지 향상된다.
• ρ=0.56에서 패턴이 있는 CPS(h1/pt8)로의 CP는 초기에 CSS 쪽으로 감쇠하다가, PDE에서의 약한 불안정성으로 인해 비균일 정현 상태로 전이된다.
• 목표 CPS를 반기의 위상으로 이동시키면 잘라내기 시간 T가 약 반기의 주기만큼 변화하며, 이는 방법이 정현 구조와 일致함을 확인한다.