[논문 리뷰] Infinitesimal bialgebras, pre-Lie and dendriform algebras

Marcelo Aguiar|ArXiv.org|2002. 11. 05.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 17인용 수 45

한 줄 요약

이 논문은 무한소bialgebra, 프리-리 대수, 그리고 덴드리포름 대수 사이에 놀라운 연결 고리를 설정한다. 무한소bialgebra는 항상 곱 $ a \circ b = b_1 a b_2 $ 를 통해 프리-리 대수를 자연스럽게 유도하며, 쿼드라티컬 트리앙귤러 무한소bialgebra는 $ x \succ y = \sum_i u_i x v_i y $, $ x \prec y = \sum_i x u_i y v_i $ 를 통해 덴드리포름 대수를 유도한다. 이는 복합곱과 콤���스 곱을 조합한 $ \text{End}(A) $ 위에 자연스러운 덴드리포름 대수적 구조를 만들어낸다.

ABSTRACT

We introduce the categories of infinitesimal Hopf modules and bimodules over an infinitesimal bialgebra. We show that they correspond to modules and bimodules over the infinitesimal version of the double. We show that there is a natural, but non-obvious way to construct a pre-Lie algebra from an arbitrary infinitesimal bialgebra and a dendriform algebra from a quasitriangular infinitesimal bialgebra. As consequences, we obtain a pre-Lie structure on the space of paths on an arbitrary quiver, and a striking dendriform structure on the space of endomorphisms of an arbitrary infinitesimal bialgebra, which combines the convolution and composition products. We extend the previous constructions to the categories of Hopf, pre-Lie and dendriform bimodules. We construct a brace algebra structure from an arbitrary infinitesimal bialgebra; this refines the pre-Lie algebra construction. In two appendices, we show that infinitesimal bialgebras are comonoid objects in a certain monoidal category and discuss a related construction for counital infinitesimal bialgebras.

연구 동기 및 목표

• 무한소bialgebra, 프리-리 대수, 덴드리포름 대수 간의 새로운 구조적 연결 고리를 설정하기.
• 무한소항법 모듈러와 무한소항법 이중모듈러를 정의하고 연구하여, 이들이 무한소더블 위의 모듈러와 일치함을 보이기.
• 모든 무한소bialgebra에서 콤팩스 곱과 유사한 곱 $ a \circ b = b_1 a b_2 $ 를 사용해 프리-리 대수적 구조를 구성하기.
• 유사항등식 양-바크스턴 방정식의 해를 가진 쿼드라티컬 트리앙귤러 무한소bialgebra를 통해 덴드리포름 대수로의 확장을 제공하기.
• 쿼드라티컬 트리앙귤러 $ \epsilon $-bialgebra의 엔도모르피즘 대수 $ \text{End}(A) $ 가 복합곱과 합성곱을 조합한 자연스러운 덴드리포름 대수적 구조를 상속함을 보이기.

제안 방법

• 무한소더블 구조 위의 모듈러로서 무한소항법 모듈러와 이중모듈러를 정의하고, 유한차원의 경우 동치임을 보이기.
• 모든 무한소bialgebra $ A $ 에 대해 $ a \circ b = b_1 a b_2 $ 를 사용해 프리-리 대수를 구성하기. 여기서 $ \Delta(a) = a_1 \otimes a_2 $ 이다.
• 유사항등식 양-바크스턴 방정식의 해 $ r = \sum u_i \otimes v_i $ 를 가진 쿼드라티컬 트리앙귤러 $ \epsilon $-bialgebra에 대해, 덴드리포름 연산 $ x \succ y = \sum_i u_i x v_i y $, $ x \prec y = \sum_i x u_i y v_i $ 를 정의하기.
• 무한소bialgebra $ A $ 의 드린펠트 더블 $ (A \otimes A^*) \oplus A \oplus A^* $ 가 자연스럽게 쿼드라티컬 트리앙귤러 $ \epsilon $-bialgebra의 구조를 지니며, 이는 $ \text{End}(A) $ 위에 덴드리포름 대수적 구조를 유도함을 보이기.
• 엔도모르피즘 대수 $ \text{End}(A) $ 내부의 부분공간 $ A \otimes A^* \subset \text{End}(A) $ 가 덴드리포름 연산에 대해 닫혀 있음을 보이고, $ \text{End}(A) $ 위의 덴드리포름 구조에 대한 명시적 공식 유도하기.
• 쿼드라티컬 트리앙귤러 $ \epsilon $-bialgebra를 포함하는 가환도형을 통해 프리-리와 덴드리포름 구성 간의 호환성 확립하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 무한소bialgebra는 자연스럽게 프리-리 대수적 구조를 지닐 수 있는가?
• RQ2 쿼드라티컬 트리앙귤러 무한소bialgebra가 어떤 조건에서 덴드리포름 대수적 구조를 유도하는가?
• RQ3 쿼드라티컬 트리앙귤러 $ \epsilon $-bialgebra의 엔도모르피즘 대수 $ \text{End}(A) $ 는 더블 구조를 통해 어떤 방식으로 덴드리포름 대수적 구조를 상속하는가?
• RQ4 무한소항법 이중모듈러와 무한소더블 위의 모듈러 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 A가 쿼드라티컬 트리앙귤러일 때, $ \text{End}(A) $ 에서 $ A $ 로 가는 자연스러운 덴드리포름 대수 사상이 존재하는가?

주요 결과

• 모든 무한소bialgebra $ A $ 는 곱 $ a \circ b = b_1 a b_2 $ 를 통해 자연스럽게 프리-리 대수적 구조를 유도하며, 이는 분할차분에서 유래한 위트 대수를 일반화한다.
• 해 $ r = \sum u_i \otimes v_i $ 를 가진 쿼드라티컬 트리앙귤러 $ \epsilon $-bialgebra에 대해, $ x \succ y = \sum_i u_i x v_i y $, $ x \prec y = \sum_i x u_i y v_i $ 를 통해 $ A $ 위에 덴드리포름 대수적 구조가 정의된다.
• 무한소bialgebra $ A $ 의 드린펠트 더블 $ (A \otimes A^*) \oplus A \oplus A^* $ 는 자연스럽게 쿼드라티컬 트리앙귤러 $ \epsilon $-bialgebra의 구조를 지니며, 이는 $ \text{End}(A) $ 위에 덴드리포름 대수적 구조를 유도한다.
• 엔도모르피즘 대수 $ \text{End}(A) $ 는 복합곱과 합성곱을 조합한 $ T \succ S = (\text{id} * T * \text{id})S + (\text{id} * T)(S * \text{id}) $, $ T \prec S = T(\text{id} * S * \text{id}) + (T * \text{id})(\text{id} * S) $ 를 통해 정의된 자연스러운 덴드리포름 구조를 상속한다.
• A가 쿼드라티컬 트리앙귤러일 때, $ \text{End}(A) $ 에서 $ A $ 로 가는 자연스러운 덴드리포름 대수 사상이 존재하며, 이는 두 구성 간의 연결 고리가 된다.
• 코모듈러와 쿼드라티컬 트리앙귤러 $ \epsilon $-bialgebra의 클래스는 서로 겹치지 않는다: 쿼드라티컬 트리앙귤러이면서 동시에 코모듈러인 $ \epsilon $-bialgebra는 반드시 자명하다(즉, 0이다).