[논문 리뷰] Initial and Boundary Value Problems for the Caputo Fractional Self-Adjoint Difference Equations

Kevin Ahrendt, Lydia DeWolf외 4명|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 18.

Nonlinear Differential Equations Analysis참고 문헌 3인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 순서 $\nu \in (0,1]$ 를 갖는 캐프토 차분의 자기수반 내림 분수 차분 방정식에 대한 초기값 및 경계값 문제(IBVPs) 이론을 수립한다. 존재성 및 유일성 정리, 변동 상수의 공식을 위한 카우치 함수 도입, 슈투름-리우빌 경계 조건에 대한 그린 함수 유도를 통해 비선형 BVP 분석에 핵심적인 부등식을 증명한다.

ABSTRACT

In this paper we develop the theory of initial and boundary value problems for the self-adjoint nabla fractional difference equation containing a Caputo fractional nabla difference that is given by \[ abla[p(t+1) abla_{a*}^νx(t+1)] + q(t)x(t) = h(t), \] where $0 < ν\leq 1$. We give an introduction to the nabla fractional calculus with Caputo fractional differences. We investigate properties of the specific self-adjoint nabla fractional difference equation given above. We prove existence and uniqueness theorems for both initial and boundary value problems under appropriate conditions. We introduce the definition of a Cauchy function which allows us to give a variation of constants formula for solving initial value problems. We then show that this Cauchy function is important in finding a Green's function for a boundary value problem with Sturm-Liouville type boundary conditions. Several inequalities concerning a certain Green's function are derived. These results are important in using fixed point theorems for proving the existence of solutions to boundary value problems for nonlinear fractional equations related to our linear self-adjoint equation.

연구 동기 및 목표

• 캐프토 분수 내림 차분을 포함한 초기 및 경계값 문제에 대한 엄밀한 이론적 프레임워크를 수립하기 위해.
• 이산 분수 미적분학에서 자기수반 분수 차분 방정식에 대한 체계적인 다루기가 부족한 점을 보완하기 위해.
• 선형 및 비선형 분수 차분 방정식을 해결하기 위한 카우치 함수 및 그린 함수와 같은 도구를 개발하기 위해.
• 비선형 BVP에서 고정점 방법을 지원하기 위해 그린 함수에 대한 기본 부등식을 제공하기 위해.
• 캐프토 정의를 자기수반 맥락에서 중점적으로 다룸으로써 이산 분수 미적분학을 확장하기 위해.

제안 방법

• 분수 합과 분수 차분을 통한 정의된 캐프토 유형의 분수 차분을 포함한 내림 분수 미적분 프레임워크를 사용한다.
• 해를 초기 값과 분수 차분의 표현으로 나타내기 위해 이산 캐프토 타일러 정리를 적용한다.
• 초기값 문제에 대한 변동 상수 공식을 유도하기 위해 카우치 함수를 도입한다.
• 방정식의 자기수반 구조를 활용하여 슈투름-리우빌 경계값 문제에 대한 그린 함수를 유도한다.
• 상승 계승계수와 감마 함수를 사용하여 그린 함수의 경계를 설정하고, $\int_a^b |\nabla_t G(t,s)| \nabla s \leq \frac{b-a}{\nu+1}$ 를 증명한다.
• 분수 합과 분수 차분의 복합 규칙을 활용하여 연산자 성질과 해 구조를 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자기수반 내림 분수 차분 방정식과 캐프토 유형의 분수 차분을 포함한 초기 및 경계값 문제는 어떻게 수립하고 해결할 수 있는가?
• RQ2 초기값 문제에서 변동 상수 공식을 구성할 때 카우치 함수는 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 캐프토 분수 차분 방정식 맥락에서 슈투름-리우빌 경계값 문제에 대한 그린 함수는 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ4 그린 함수의 주요 분석적 성질, 특히 $L^1$-노름 행동은 무엇인가?
• RQ5 유도된 그린 함수 부등식은 비선형 분수 차분 방정식에 대한 존재성 이론에 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 계수와 외부 함수에 적절한 조건이 만족될 경우, 초기 및 경계값 문제에 대해 해의 존재성과 유일성이 증명된다.
• 카우치 함수를 사용한 변동 상수 공식이 수립되어 초기값 문제의 명시적 해 표현이 가능해진다.
• 슈투름-리우빌 경계값 문제에 대한 그린 함수가 명시적으로 구성되었으며, 모든 $t \in \mathbb{N}_a^b$ 에 대해 $\int_a^b |\nabla_t G(t,s)| \nabla s \leq \frac{b-a}{\nu+1}$ 를 만족함을 보였다.
• 그린 함수의 경계는 $t$ 에 대해 균일하며, 최악의 경우 $t = a+1$ 에서 발생하며, 모든 $t \in \mathbb{N}_a^b$ 에 대해 부등식이 성립한다.
• 유도된 그린 함수 부등식은 비선형 분수 차분 방정식에서 고정점 정리를 적용하여 해의 존재성을 증명하는 데 핵심적인 역할을 한다.
• 결과적으로 고전적인 이산 미적분학을 분수 차수 자기수반 시스템으로 확장하여, 이산 분수 설정에서의 비선형 분석을 위한 도구를 제공한다.